Verifique se as funções vetoriais abaixo são contínuas no ponto
indicado.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou! A gente precisa verificar se a função vetorial
é contínua no ponto
. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente sobre continuidade de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como verificar a continuidade das componentes da função vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função vetorial dada:
Aqui,
tem três componentes:
quando
e
,
e
para todos os valores de
.
Passo 3
Para uma função vetorial ser contínua em um ponto, todas as suas componentes devem ser contínuas nesse ponto. Então, vamos verificar cada componente em
.
Passo 4
Vamos começar com a componente
:
Sabemos que o limite de
quando
se aproxima de 0 é 1. Isso é um resultado clássico do cálculo:
Mas
. Como o limite quando
se aproxima de 0 não é igual ao valor da função em 0, a componente
não é contínua em
.
Passo 5
Agora, vamos para as outras componentes:
Essas são funções constantes, e funções constantes são contínuas em todo o seu domínio, inclusive em
.
Passo 6
Resumindo, para a função vetorial
ser contínua em
, todas as suas componentes devem ser contínuas nesse ponto. Porém, vimos que a componente
apresenta uma descontinuidade em
, enquanto
e
são contínuas.
Resposta
Portanto, a função vetorial
não é contínua no ponto
.
Exercícios relacionados
Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseç̧ão das superfícies abaixo
O cilindro e o cone
.
O cilindro
Resolva os exercícios a seguir:
Esboce a curva definida pela função vetorial
.
Determine os pontos em que a curva
intersepta o parabolóide
.