Verifique se as funções vetoriais abaixo são contínuas no ponto t0 indicado.
r(t)=llsen(t)t i+j+k, & se t neq 0 2 i+j+k, & se t=0, t0=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou! A gente precisa verificar se a função vetorial é contínua no ponto . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente sobre continuidade de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como verificar a continuidade das componentes da função vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função vetorial dada:
r(t) = sin(t)t , i + j + k, & se t neq 0 2 , i + j + k, & se t = 0 , t0 = 0
Aqui, tem três componentes: quando e , e para todos os valores de .

Passo 3

Para uma função vetorial ser contínua em um ponto, todas as suas componentes devem ser contínuas nesse ponto. Então, vamos verificar cada componente em .

Passo 4

Vamos começar com a componente x(t) = sin(t)t, & t neq 0 2, & t = 0 :
limt to 0 sin(t)t = 1
Sabemos que o limite de quando se aproxima de 0 é 1. Isso é um resultado clássico do cálculo:
Mas . Como o limite quando se aproxima de 0 não é igual ao valor da função em 0, a componente não é contínua em .

Passo 5

Agora, vamos para as outras componentes:
y(t) = 1 e z(t) = 1
Essas são funções constantes, e funções constantes são contínuas em todo o seu domínio, inclusive em .

Passo 6

Resumindo, para a função vetorial ser contínua em , todas as suas componentes devem ser contínuas nesse ponto. Porém, vimos que a componente apresenta uma descontinuidade em , enquanto e são contínuas.

Resposta

Portanto, a função vetorial não é contínua no ponto .

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Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseç̧ão das superfícies abaixo
O cilindro x^2 + y^2 = 4 e o cone z^2 = x^2 + y^2.
Resolva os exercícios a seguir: y' = 2y
Esboce a curva definida pela função vetorial vec(r)(t).
f r(t) = (5 cos(t), 5 sen(t), 5)
Determine os pontos em que a curva r(t) = (t, 0, 2t - t^2) intersepta o parabolóide z = x^2 + y^2.