Resolva os exercícios a seguir: y' = 2y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que temos para resolver é a equação diferencial . Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, especificamente das Equações Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de forma que todas as partes envolvendo fiquem de um lado e as partes com do outro. A equação original é:
Vamos separar as variáveis dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é . Assim, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Para resolver para , vamos exponenciar ambos os lados da equação para eliminar o logaritmo. Isso dá:
Simplificando, obtemos:
Como é apenas uma constante positiva, podemos chamar de (ou simplesmente ), então:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante qualquer.

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