Determine os pontos da superfície
que estão mais próximos da origem.
Passo 1
Vamos resolver um problema de otimização onde queremos encontrar os pontos na superfície definida por
que estão mais próximos da origem. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar os extremos de uma função sujeita a uma restrição.
Passo 2
Primeiro, precisamos definir a função que representa a distância dos pontos
à origem. A distância
é dada por:
Para facilitar os cálculos, vamos minimizar o quadrado da distância
:
Passo 3
Nossa restrição é a equação da superfície:
O objetivo é minimizar
sujeito a essa restrição.
Passo 4
Aplicamos o método dos multiplicadores de Lagrange. Definimos a função de Lagrange
como:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange que nos ajuda a incorporar a restrição na otimização.
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
,
,
e
e as igualamos a zero:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
Da equação (1):
Isso nos dá duas possibilidades:
Caso 1:
Substituindo
na equação (4):
Das equações (2) e (3):
Multiplicando a primeira por
e a segunda por
:
Subtraindo (2’) de (3’):
Se
, então
.
Mas como
, se
:
Caso 2:
Substituindo
nas equações (2) e (3):
Resolvendo o sistema:
De (2):
Substituindo em (3):
Substituindo
e
na equação (4):
Resposta
Os pontos na superfície
mais próximos da origem são:
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Quais equações são de variáveis separáveis
Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseç̧ão das superfícies abaixo
O parabolóide e o plano
;
O parabolóide
Resolver as equações diferenciais
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