Determine os pontos da superfície x^2 - y*z = 5 que estão mais próximos da origem.

Passo 1

Vamos resolver um problema de otimização onde queremos encontrar os pontos na superfície definida por que estão mais próximos da origem. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar os extremos de uma função sujeita a uma restrição.

Passo 2

Primeiro, precisamos definir a função que representa a distância dos pontos à origem. A distância é dada por:
Para facilitar os cálculos, vamos minimizar o quadrado da distância :

Passo 3

Nossa restrição é a equação da superfície:
O objetivo é minimizar sujeito a essa restrição.

Passo 4

Aplicamos o método dos multiplicadores de Lagrange. Definimos a função de Lagrange como:
Aqui, é o multiplicador de Lagrange que nos ajuda a incorporar a restrição na otimização.

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais de em relação a , , e e as igualamos a zero:

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
Da equação (1):
Isso nos dá duas possibilidades:
Caso 1:
Substituindo na equação (4):
Das equações (2) e (3):
Multiplicando a primeira por e a segunda por :
Subtraindo (2’) de (3’):
Se , então .
Mas como , se :
Caso 2:
Substituindo nas equações (2) e (3):
Resolvendo o sistema:
De (2):
Substituindo em (3):
Substituindo e na equação (4):

Resposta

Os pontos na superfície mais próximos da origem são:

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Quais equações são de variáveis separáveis y' = x^2 / (1 - y^2)
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Resolver as equações diferenciais d y/d x = (2 x (y^3 + y)) / (3 y^2 + 1)
1^2 Questão (2,0 pontos): Resolva a equação diferencial abaixo.
3
x^2 y'' - 3 x y' + 4 y = 0, x > 0