Determine uma função vetorial r: I ⊆ R → R² tal que o traço de r seja:
(1.3) a cardióide r = 2(1 - cos(θ))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma função vetorial que mapeia números reais para o plano , de modo que o caminho que ela traça seja uma cardióide, cuja equação polar é . Para isso, vamos usar conhecimentos de coordenadas polares e funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função vetorial no plano pode ser escrita em termos das coordenadas e . Em coordenadas polares, temos as relações:
Aqui, é a distância do ponto à origem e é o ângulo em relação ao eixo .

Passo 3

Como a equação da cardióide é , vamos substituir esse valor de nas equações de e :
Isso nos dá as componentes e da função vetorial em termos de .

Passo 4

Vamos simplificar as expressões para e :
Essas são as componentes da nossa função vetorial.

Passo 5

Agora, podemos escrever a função vetorial combinando e :
Essa é a função que descreve a cardióide no plano.

Resposta

A função vetorial que traça a cardióide é:

Exercícios relacionados