Determine uma função vetorial
tal que o traço de
seja:
(1.3) a cardióide
(1.3) a cardióide
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma função vetorial
que mapeia números reais para o plano
, de modo que o caminho que ela traça seja uma cardióide, cuja equação polar é
. Para isso, vamos usar conhecimentos de coordenadas polares e funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função vetorial no plano pode ser escrita em termos das coordenadas
e
. Em coordenadas polares, temos as relações:
Aqui,
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo em relação ao eixo
.
Passo 3
Como a equação da cardióide é
, vamos substituir esse valor de
nas equações de
e
:
Isso nos dá as componentes
e
da função vetorial em termos de
.
Passo 4
Vamos simplificar as expressões para
e
:
Essas são as componentes da nossa função vetorial.
Passo 5
Agora, podemos escrever a função vetorial
combinando
e
:
Essa é a função que descreve a cardióide no plano.
Resposta
A função vetorial que traça a cardióide é: