Indique a integral que calcula a massa de um fio delgado em forma da parábola: {x = (y - 1)^2, z = 4} com densidade sigma(x, y, z) = x, em que 0 <= y <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para a gente encontrar a integral que calcula a massa de um fio delgado com formato de parábola. A parábola é definida pelas equações e , e a densidade do fio é dada por . Além disso, o intervalo para é de 0 a 2. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais de linha para calcular a massa de objetos contínuos como esse fio.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a curva que representa o fio. As equações dadas são e . Como é constante (sempre 4), a curva está no plano . Podemos parametrizar essa curva em termos de , já que varia de 0 a 2.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma expressão para o elemento de comprimento ao longo da curva, que chamamos de . Como a curva está definida em termos de , podemos expressar em função de . A fórmula para em termos de é:
Mas como é constante, seu derivado em relação a é zero, então a fórmula simplifica para:

Passo 4

Vamos calcular . A equação deriva para:
Substituindo isso na expressão de :

Passo 5

Agora, vamos expressar a densidade em termos de . Como e , temos:

Passo 6

Finalmente, a massa do fio é dada pela integral da densidade multiplicada pelo elemento de comprimento ao longo da curva:

Resposta

A integral que calcula a massa do fio é:

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