Indique a integral que calcula a massa de um fio delgado em forma da parábola:
com densidade
, em que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para a gente encontrar a integral que calcula a massa de um fio delgado com formato de parábola. A parábola é definida pelas equações
e
, e a densidade do fio é dada por
. Além disso, o intervalo para
é de 0 a 2. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais de linha para calcular a massa de objetos contínuos como esse fio.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a curva que representa o fio. As equações dadas são
e
. Como
é constante (sempre 4), a curva está no plano
. Podemos parametrizar essa curva em termos de
, já que
varia de 0 a 2.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma expressão para o elemento de comprimento ao longo da curva, que chamamos de
. Como a curva está definida em termos de
, podemos expressar
em função de
. A fórmula para
em termos de
é:
Mas como
é constante, seu derivado em relação a
é zero, então a fórmula simplifica para:
Passo 4
Vamos calcular
. A equação
deriva para:
Substituindo isso na expressão de
:
Passo 5
Agora, vamos expressar a densidade
em termos de
. Como
e
, temos:
Passo 6
Finalmente, a massa
do fio é dada pela integral da densidade multiplicada pelo elemento de comprimento ao longo da curva:
Resposta
A integral que calcula a massa do fio é: