Determine se a solução em série de potências em torno do ponto
, para os valores de a indicados, existe para cada uma das seguintes equações diferenciais, e faça um prognóstico para o conjunto de valores para os quais as séries são convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar se existe uma solução em série de potências para a equação diferencial
em torno de
. Isso entra na matéria de séries de potências e equações diferenciais. Vamos precisar usar a técnica de assumir que
pode ser escrito como uma série de potências e substituir na equação para achar os coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
Isso significa que
é uma soma infinita de termos com
, onde
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Essas expressões vão ser substituídas na equação diferencial original.
Passo 4
Substituindo
,
e
na equação
:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, vamos reindexar as séries para ter todas com
:
- Primeiro termo:
- Segundo termo (já está com
):
- Terceiro termo:
- Quarto termo:
Passo 7
Agora, juntamos todas as séries:
Passo 8
Para que essa igualdade valha para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser zero. Então, igualamos os coeficientes:
Para :
Para
Para
:
Para
:
Simplificando:
Passo 9
Agora, temos uma relação de recorrência que nos permite calcular os coeficientes
em termos de
. Isso mostra que podemos construir uma solução em série de potências para qualquer
e
, os quais são os termos iniciais da série.
Passo 10
Sobre a convergência da série, observamos que a equação diferencial tem singularidades em
(porque
). Isso significa que o raio de convergência da série será até a distância da origem até a singularidade mais próxima, que é 1. Portanto, a série converge para
.
Resposta
Existe uma solução em série de potências centrada em
para a equação diferencial dada, e a série converge para os valores de
tais que
.