Determine se a solução em série de potências em torno do ponto x = a, para os valores de a indicados, existe para cada uma das seguintes equações diferenciais, e faça um prognóstico para o conjunto de valores para os quais as séries são convergentes.
(1 - x^2) y'' - 2 x y' + 6 y = 0, a = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar se existe uma solução em série de potências para a equação diferencial em torno de . Isso entra na matéria de séries de potências e equações diferenciais. Vamos precisar usar a técnica de assumir que pode ser escrito como uma série de potências e substituir na equação para achar os coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em :
Isso significa que é uma soma infinita de termos com , onde são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :
Essas expressões vão ser substituídas na equação diferencial original.

Passo 4

Substituindo , e na equação :

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 6

Agora, vamos reindexar as séries para ter todas com :
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo (já está com ):
  1. Terceiro termo:
  1. Quarto termo:

Passo 7

Agora, juntamos todas as séries:

Passo 8

Para que essa igualdade valha para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero. Então, igualamos os coeficientes:
Para :
Para :
Para :
Simplificando:

Passo 9

Agora, temos uma relação de recorrência que nos permite calcular os coeficientes em termos de . Isso mostra que podemos construir uma solução em série de potências para qualquer e , os quais são os termos iniciais da série.

Passo 10

Sobre a convergência da série, observamos que a equação diferencial tem singularidades em (porque ). Isso significa que o raio de convergência da série será até a distância da origem até a singularidade mais próxima, que é 1. Portanto, a série converge para .

Resposta

Existe uma solução em série de potências centrada em para a equação diferencial dada, e a série converge para os valores de tais que .

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