Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto x = a adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
(1+x) y'' + 2 y' = 0, a = 1

Passo 1

Beleza! A gente tem que resolver a equação diferencial usando séries de potências ao redor de x = 1. Vamos precisar saber sobre séries de potências, derivadas de séries e como substituir na equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer um ajuste para centralizar a série em x = 1. Vamos fazer a substituição , assim . Agora, reescrevemos a equação em termos de u:

Passo 3

Assumimos que a solução y pode ser escrita como uma série de potências em torno de :

Passo 4

Calculamos as derivadas primeira e segunda de :

Passo 5

Substituímos y, , e na equação :

Passo 6

Distribuímos na série:

Passo 7

Ajustamos os índices para que todas as séries tenham :

Passo 8

Igualamos os coeficientes de cada potência de a zero:
Para :
Para n ≥ 1:

Simplificando:

Notamos que , então:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 9

Agora, temos relações de recorrência:
  1. Para :
  2. Para n ≥ 1:
Isso significa que, a partir de , os demais coeficientes são determinados:

E assim por diante.

Passo 10

Assumindo e como constantes arbitrárias (já que é uma equação diferencial de segunda ordem), podemos escrever a solução geral:
Reconhecemos a série geométrica com razão :

Passo 11

Sabemos que a série geométrica converge para . Como , isso significa , ou seja, .
A soma da série geométrica é:

Passo 12

Substituindo de volta :

Resposta

A solução geral em série da equação em torno de x = 1 é:
A série converge para .

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