Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto
adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
Passo 1
Beleza! A gente tem que resolver a equação diferencial
usando séries de potências ao redor de
. Vamos precisar saber sobre séries de potências, derivadas de séries e como substituir na equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer um ajuste para centralizar a série em
. Vamos fazer a substituição
, assim
. Agora, reescrevemos a equação em termos de
:
Passo 3
Assumimos que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Passo 4
Calculamos as derivadas primeira e segunda de
:
Passo 5
Substituímos
,
, e
na equação
:
Passo 6
Distribuímos
na série:
Passo 7
Ajustamos os índices para que todas as séries tenham
:
Passo 8
Igualamos os coeficientes de cada potência de
a zero:
Para
:
Para
:
Simplificando:
Notamos que
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 9
Agora, temos relações de recorrência:
- Para
: - Para
:
Isso significa que, a partir de
, os demais coeficientes são determinados:
E assim por diante.
Passo 10
Assumindo
e
como constantes arbitrárias (já que é uma equação diferencial de segunda ordem), podemos escrever a solução geral:
Reconhecemos a série geométrica com razão
:
Passo 11
Sabemos que a série geométrica converge para
. Como
, isso significa
, ou seja,
.
A soma da série geométrica é:
Passo 12
Substituindo de volta
:
Resposta
A solução geral em série da equação
em torno de
é:
A série converge para
.