Determine (f(x) - f(p)) / (x - p) para as funções: f(x) = 1/x^2 e p <> 0

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e queremos calcular a expressão , onde . Esse tipo de cálculo é conhecido como quociente de diferença, e é muito usado para encontrar a derivada de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir e na expressão:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o numerador. Para subtrair as duas frações, precisamos de um denominador comum. O denominador comum entre e é . Então, reescrevemos as frações:
Substituindo na expressão:

Passo 4

Observe que o numerador é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte forma:
Substituindo na expressão:

Passo 5

Note que . Então, podemos reescrever a expressão:
As partes se cancelam.

Passo 6

Finalmente, simplificamos a expressão:

Resposta

A expressão para é:

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