(4,0 pts) Encontre equações para a reta tangente e para a reta normal à curva no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer! A questão pede para encontrarmos as equações da reta tangente e da reta normal à curva no ponto . Aqui, vamos usar conceitos de derivadas para achar a inclinação da reta tangente, e a reta normal é simplesmente perpendicular a essa tangente. Então, vamos precisar calcular a derivada da função para achar a inclinação da tangente e depois fazer uns cálculos para achar as equações das retas.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que o ponto está mesmo na curva. Substituindo na função:
Então, sim, o ponto está na curva. Isso é importante para garantirmos que estamos trabalhando no lugar certo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função , que nos dará a inclinação da reta tangente em qualquer ponto . Para derivar esse produto, vamos usar a regra do produto, que diz:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos derivar cada parte:
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 5

Vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Substituímos na derivada:
Então, a inclinação da tangente é .

Passo 6

Com a inclinação da tangente e o ponto , podemos usar a forma da equação da reta:
Substituindo , e :
Essa é a equação da reta tangente.

Passo 7

Agora, vamos achar a inclinação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente:

Passo 8

Usando novamente a forma da equação da reta com , e :
Essa é a equação da reta normal.

Resposta

A equação da reta tangente é e a equação da reta normal é .

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