(4,0 pts) Encontre equações para a reta tangente e para a reta normal à curva
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer! A questão pede para encontrarmos as equações da reta tangente e da reta normal à curva
no ponto
. Aqui, vamos usar conceitos de derivadas para achar a inclinação da reta tangente, e a reta normal é simplesmente perpendicular a essa tangente. Então, vamos precisar calcular a derivada da função para achar a inclinação da tangente e depois fazer uns cálculos para achar as equações das retas.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que o ponto
está mesmo na curva. Substituindo
na função:
Então, sim, o ponto está na curva. Isso é importante para garantirmos que estamos trabalhando no lugar certo.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função
, que nos dará a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
. Para derivar esse produto, vamos usar a regra do produto, que diz:
Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos derivar cada parte:
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 5
Vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
. Substituímos
na derivada:
Então, a inclinação da tangente é
.
Passo 6
Com a inclinação da tangente e o ponto
, podemos usar a forma da equação da reta:
Substituindo
,
e
:
Essa é a equação da reta tangente.
Passo 7
Agora, vamos achar a inclinação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente:
Passo 8
Usando novamente a forma da equação da reta com
,
e
:
Essa é a equação da reta normal.
Resposta
A equação da reta tangente é
e a equação da reta normal é
.