(3,0 pts) Encontre a derivada de ordem 1001 da função f(x) = x sen(x).

Passo 1

Beleza, galera! O enunciado pede pra gente encontrar a derivada de ordem 1001 da função . Isso está relacionado ao conteúdo de derivadas de funções trigonométricas e polinomiais. Vamos precisar saber como derivar produtos de funções e entender o comportamento das derivadas de senos e cossenos ao longo de várias ordens.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a derivada de é e a derivada de é . Essas funções se repetem a cada duas derivadas, formando um ciclo.

Passo 3

Agora, como nossa função é , precisamos usar a regra do produto para derivar. A regra do produto diz que . Vamos aplicar isso repetidamente para encontrar derivadas de ordem mais alta.

Passo 4

Vamos observar o padrão das derivadas:
  • Isso continua, e percebemos que as derivadas de ordem alta vão alternar entre senos e cossenos, além de termos termos envolvendo .

Passo 5

No entanto, para derivadas de alta ordem como a 1001, os termos envolvendo vão se anular após várias derivações, deixando apenas funções trigonométricas multiplicadas por constantes. Isso acontece porque cada derivada de diminui o grau do polinômio até que ele desaparece.

Passo 6

Notamos que a derivada de ordem de vai ser uma combinação linear de e . Além disso, o padrão das derivadas trigonométricas se repete a cada 4 derivadas:
  • alterna entre , , e .

Passo 7

Vamos determinar o resto da divisão de 1001 por 4 para saber em qual parte do ciclo estamos:
com resto 1.
Isso significa que a derivada de ordem 1001 será da mesma forma que a primeira derivada no ciclo trigonométrico, ou seja, envolvendo .

Passo 8

Portanto, a derivada de ordem 1001 de será proporcional a . Calculando os coeficientes decorrentes das derivações sucessivas, obtemos:

Resposta

A derivada de ordem 1001 da função é .

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