(3,0 pts) Encontre a derivada de ordem 1001 da função
.
Passo 1
Beleza, galera! O enunciado pede pra gente encontrar a derivada de ordem 1001 da função . Isso está relacionado ao conteúdo de derivadas de funções trigonométricas e polinomiais. Vamos precisar saber como derivar produtos de funções e entender o comportamento das derivadas de senos e cossenos ao longo de várias ordens.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a derivada de é
e a derivada de
é . Essas funções se repetem a cada duas derivadas, formando um ciclo.
Passo 3
Agora, como nossa função é , precisamos usar a regra do produto para derivar. A regra do produto diz que
. Vamos aplicar isso repetidamente para encontrar derivadas de ordem mais alta.
Passo 4
Vamos observar o padrão das derivadas:
- Isso continua, e percebemos que as derivadas de ordem alta vão alternar entre senos e cossenos, além de termos termos envolvendo
.
Passo 5
No entanto, para derivadas de alta ordem como a 1001, os termos envolvendo
vão se anular após várias derivações, deixando apenas funções trigonométricas multiplicadas por constantes. Isso acontece porque cada derivada de
diminui o grau do polinômio até que ele desaparece.
Passo 6
Notamos que a derivada de ordem
de
vai ser uma combinação linear de e
. Além disso, o padrão das derivadas trigonométricas se repete a cada 4 derivadas:
-
alterna entre , , e .
Passo 7
Vamos determinar o resto da divisão de 1001 por 4 para saber em qual parte do ciclo estamos:
Isso significa que a derivada de ordem 1001 será da mesma forma que a primeira derivada no ciclo trigonométrico, ou seja, envolvendo
.
Passo 8
Portanto, a derivada de ordem 1001 de será proporcional a
. Calculando os coeficientes decorrentes das derivações sucessivas, obtemos:
Resposta
A derivada de ordem 1001 da função é
.
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.
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é dado em metros e t é dado em segundos, no instante módulo da aceleração escalar do corpo, em
, será:
a) 25
b) 20
c) 15
d) 10
e) 5
a) 25
b) 20
c) 15
d) 10
e) 5
Determine
para as funções:
e
Determine
, para
, sendo: