Determine
para as funções abaixo:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a derivada de
em relação a
para três funções diferentes. Isso envolve o cálculo de derivadas parciais e a aplicação da regra da cadeia. Vamos precisar saber como derivar funções compostas e usar a regra da cadeia multivariada.
Passo 2
Vamos começar com a parte a) do exercício:
onde:
Primeiro, vamos entender que
depende de
e
, que por sua vez dependem de
. Para encontrar
, usamos a regra da cadeia:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
-
:
-
:
Passo 4
Agora, vamos derivar
e
em relação a
:
Passo 5
Vamos substituir as expressões de
,
,
e
na fórmula da regra da cadeia:
Passo 6
Agora, substituímos
e
pelas expressões em termos de
:
Substituindo:
Passo 7
Agora, simplificamos as expressões:
Primeiro, expandimos os termos dentro dos colchetes:
Primeiro, expandimos os termos dentro dos colchetes:
Somando esses:
Para o segundo colchete:
Somando esses:
Passo 8
Agora, substituímos de volta:
Multiplicando os termos:
Passo 9
Finalmente, agrupamos os termos semelhantes:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Encontre os pontos críticos das funções abaixo e decida se são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela:
a) .
b)
c) .
a)
b)
c)
Determine o limite
.
Resolva
.
Calcule
.