Determine d f / d t para as funções abaixo:
a) f(x, y) = x^2 * y + x * y^2
x = 2 + t^4
y = 1 - t^3
b) f(x, y) = sen(x) cos(2y)
x = 3 t
y = raiz(t)
c) f(x, y, z) = x * e^(y / z)
x = t^2
y = 1 - t
z = 1 + 2 t

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a derivada de em relação a para três funções diferentes. Isso envolve o cálculo de derivadas parciais e a aplicação da regra da cadeia. Vamos precisar saber como derivar funções compostas e usar a regra da cadeia multivariada.

Passo 2

Vamos começar com a parte a) do exercício:
onde:
Primeiro, vamos entender que depende de e , que por sua vez dependem de . Para encontrar , usamos a regra da cadeia:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
  1. :
  1. :

Passo 4

Agora, vamos derivar e em relação a :

Passo 5

Vamos substituir as expressões de , , e na fórmula da regra da cadeia:

Passo 6

Agora, substituímos e pelas expressões em termos de :
Substituindo:

Passo 7

Agora, simplificamos as expressões:
Primeiro, expandimos os termos dentro dos colchetes:
Somando esses:
Para o segundo colchete:
Somando esses:

Passo 8

Agora, substituímos de volta:
Multiplicando os termos:

Passo 9

Finalmente, agrupamos os termos semelhantes:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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