Encontre os pontos críticos das funções abaixo e decida se são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela:
a) .
b)
c) .
Passo 1
Beleza, o que a gente precisa fazer aqui é encontrar os **pontos críticos** das funções listadas e descobrir se esses pontos são **máximos locais**, **mínimos locais** ou **pontos de sela**. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, onde vamos derivar as funções em relação a e , igualar a zero e resolver o sistema de equações. Além disso, vamos precisar analisar a segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Vamos começar com a função **a)**:
Primeiro, encontramos as derivadas parciais em relação a e :
Passo 3
Agora, igualamos as derivadas a zero para achar os pontos críticos:
Então, o ponto crítico é .
Passo 4
Para classificar o ponto, usamos a **matriz Hessiana**:
Calculamos o determinante:
Como e o determinante é positivo, o ponto é um **máximo local**.
Passo 5
Agora, vamos para a função **b)**:
Primeiro, expandimos a função para facilitar:
Passo 6
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 7
Igualamos as derivadas a zero:
Subtraindo a equação (2) da equação (1):
Passo 8
Substituindo na equação (2):
Isso não tem solução real.
Agora, substituindo na equação (2):
Então, os pontos críticos são e .
Passo 9
Vamos analisar o ponto . Calculamos as segundas derivadas:
No ponto :
Determinante da Hessiana:
Como o determinante é negativo, é um **ponto de sela**.
O mesmo vale para , que também é um **ponto de sela**.
Passo 10
Finalmente, a função **c)**:
Primeiro, encontramos as derivadas parciais:
Passo 11
Igualamos as derivadas a zero:
Como nunca é zero, temos:
Isso só ocorre quando satisfaz as duas equações simultaneamente, o que é impossível. Portanto, **não há pontos críticos** para essa função.
Resposta
a) O ponto crítico é e é um **máximo local**.
b) Os pontos críticos são e , ambos são **pontos de sela**.
c) Não há pontos críticos para a função .
Exercícios relacionados
Determine o limite .
Mostre as propriedades do gradiente enunciadas em aula.
Determine para as funções abaixo:
a)
b)
c)
Resolva .