Encontre os pontos críticos das funções abaixo e decida se são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela:
a)
.
b)
c)
.
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, o que a gente precisa fazer aqui é encontrar os pontos críticos das funções listadas e descobrir se esses pontos são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, onde vamos derivar as funções em relação a
e
, igualar a zero e resolver o sistema de equações. Além disso, vamos precisar analisar a segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Vamos começar com a função a):
Primeiro, encontramos as derivadas parciais em relação a
e
:
Passo 3
Agora, igualamos as derivadas a zero para achar os pontos críticos:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 4
Para classificar o ponto, usamos a matriz Hessiana:
Calculamos o determinante:
Como
e o determinante é positivo, o ponto é um máximo local.
Passo 5
Agora, vamos para a função b):
Primeiro, expandimos a função para facilitar:
Passo 6
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 7
Igualamos as derivadas a zero:
Subtraindo a equação (2) da equação (1):
Passo 8
Substituindo
na equação (2):
Isso não tem solução real.
Agora, substituindo
na equação (2):
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 9
Vamos analisar o ponto
. Calculamos as segundas derivadas:
No ponto
:
Determinante da Hessiana:
Como o determinante é negativo,
é um ponto de sela.
O mesmo vale para
, que também é um ponto de sela.
Passo 10
Finalmente, a função c):
Primeiro, encontramos as derivadas parciais:
Passo 11
Igualamos as derivadas a zero:
Como
nunca é zero, temos:
Isso só ocorre quando
satisfaz as duas equações simultaneamente, o que é impossível. Portanto, não há pontos críticos para essa função.
Resposta
a) O ponto crítico é
e é um máximo local.
b) Os pontos críticos são
e
, ambos são pontos de sela.
c) Não há pontos críticos para a função
.