Encontre os pontos críticos das funções abaixo e decida se são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela:
a) f(x, y) = 9 - 2x + 4y - x^2 - 4y^2.
b) f(x, y) = (1 + x*y)(x + y)
c) f(x, y) = e^x * cos(y).

Passo 1

Beleza, o que a gente precisa fazer aqui é encontrar os pontos críticos das funções listadas e descobrir se esses pontos são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, onde vamos derivar as funções em relação a e , igualar a zero e resolver o sistema de equações. Além disso, vamos precisar analisar a segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Vamos começar com a função a):
Primeiro, encontramos as derivadas parciais em relação a e :

Passo 3

Agora, igualamos as derivadas a zero para achar os pontos críticos:
Então, o ponto crítico é .

Passo 4

Para classificar o ponto, usamos a matriz Hessiana:
Calculamos o determinante:
Como e o determinante é positivo, o ponto é um máximo local.

Passo 5

Agora, vamos para a função b):
Primeiro, expandimos a função para facilitar:

Passo 6

Calculamos as derivadas parciais:

Passo 7

Igualamos as derivadas a zero:
Subtraindo a equação (2) da equação (1):

Passo 8

Substituindo na equação (2):
Isso não tem solução real.
Agora, substituindo na equação (2):
Então, os pontos críticos são e .

Passo 9

Vamos analisar o ponto . Calculamos as segundas derivadas:
No ponto :
Determinante da Hessiana:
Como o determinante é negativo, é um ponto de sela.
O mesmo vale para , que também é um ponto de sela.

Passo 10

Finalmente, a função c):
Primeiro, encontramos as derivadas parciais:

Passo 11

Igualamos as derivadas a zero:
Como nunca é zero, temos:
Isso só ocorre quando satisfaz as duas equações simultaneamente, o que é impossível. Portanto, não há pontos críticos para essa função.

Resposta

a) O ponto crítico é e é um máximo local.
b) Os pontos críticos são e , ambos são pontos de sela.
c) Não há pontos críticos para a função .

Exercícios relacionados