Encontre os pontos críticos das funções abaixo e decida se são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela: a) . b) c) .

Passo 1

Beleza, o que a gente precisa fazer aqui é encontrar os **pontos críticos** das funções listadas e descobrir se esses pontos são **máximos locais**, **mínimos locais** ou **pontos de sela**. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, onde vamos derivar as funções em relação a e , igualar a zero e resolver o sistema de equações. Além disso, vamos precisar analisar a segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Vamos começar com a função **a)**: Primeiro, encontramos as derivadas parciais em relação a e :

Passo 3

Agora, igualamos as derivadas a zero para achar os pontos críticos: Então, o ponto crítico é .

Passo 4

Para classificar o ponto, usamos a **matriz Hessiana**: Calculamos o determinante: Como e o determinante é positivo, o ponto é um **máximo local**.

Passo 5

Agora, vamos para a função **b)**: Primeiro, expandimos a função para facilitar:

Passo 6

Calculamos as derivadas parciais:

Passo 7

Igualamos as derivadas a zero: Subtraindo a equação (2) da equação (1):

Passo 8

Substituindo na equação (2): Isso não tem solução real. Agora, substituindo na equação (2): Então, os pontos críticos são e .

Passo 9

Vamos analisar o ponto . Calculamos as segundas derivadas: No ponto : Determinante da Hessiana: Como o determinante é negativo, é um **ponto de sela**. O mesmo vale para , que também é um **ponto de sela**.

Passo 10

Finalmente, a função **c)**: Primeiro, encontramos as derivadas parciais:

Passo 11

Igualamos as derivadas a zero: Como nunca é zero, temos: Isso só ocorre quando satisfaz as duas equações simultaneamente, o que é impossível. Portanto, **não há pontos críticos** para essa função.

Resposta

a) O ponto crítico é e é um **máximo local**. b) Os pontos críticos são e , ambos são **pontos de sela**. c) Não há pontos críticos para a função .

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