Determine as funções f: R -> C cujas transformadas de Fourier são dadas
(f) f(omega) = 1/(4 - omega^2 + 2i * omega).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a função cuja transformada de Fourier é dada por
Vamos usar conceitos de transformadas de Fourier e álgebra para descobrir qual é essa função .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da transformada de Fourier. Temos:
Podemos reescrever isso completando o quadrado em relação a :
Para completar o quadrado, observamos os termos quadráticos e lineares:
Agora, completando o quadrado dentro dos parênteses:
Substituindo de volta:
Então, o denominador fica:
Portanto, temos:

Passo 3

Agora, para encontrar , vamos usar a transformada inversa de Fourier. A fórmula geral para a transformada inversa é:
Substituindo :
Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar. Seja , então e . Substituindo:
Note que .

Passo 4

A integral agora fica:
Podemos reconhecer que essa integral se assemelha à transformada de Fourier de uma função racional. Para resolver, vamos fatorar o denominador:
Então, podemos escrever a fração como:
Substituindo na integral:

Passo 5

Essas integrais são conhecidas na transformada de Fourier e correspondem a funções exponenciais. Especificamente, temos:
onde é a função degrau de Heaviside.
Aplicando isso às integrais que temos:
Simplificando:
Usando a identidade :

Resposta

A função que satisfaz a transformada de Fourier dada é
onde é a função degrau de Heaviside.

Exercícios relacionados