Determine as funções
cujas transformadas de Fourier são dadas
(f)
.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a função
cuja transformada de Fourier é dada por
Vamos usar conceitos de transformadas de Fourier e álgebra para descobrir qual é essa função
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da transformada de Fourier. Temos:
Podemos reescrever isso completando o quadrado em relação a
:
Para completar o quadrado, observamos os termos quadráticos e lineares:
Agora, completando o quadrado dentro dos parênteses:
Substituindo de volta:
Então, o denominador fica:
Portanto, temos:
Passo 3
Agora, para encontrar
, vamos usar a transformada inversa de Fourier. A fórmula geral para a transformada inversa é:
Substituindo
:
Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar. Seja
, então
e
. Substituindo:
Note que
.
Passo 4
A integral agora fica:
Podemos reconhecer que essa integral se assemelha à transformada de Fourier de uma função racional. Para resolver, vamos fatorar o denominador:
Então, podemos escrever a fração como:
Substituindo na integral:
Passo 5
Essas integrais são conhecidas na transformada de Fourier e correspondem a funções exponenciais. Especificamente, temos:
onde
é a função degrau de Heaviside.
Aplicando isso às integrais que temos:
Simplificando:
Usando a identidade
:
Resposta
A função
que satisfaz a transformada de Fourier dada é
onde
é a função degrau de Heaviside.