Determine a transformada de Fourier das seguintes funções f: R -> R
(e) f(x) = e^(-(a + i b) x) u0(x) = { e^(-(a + i b) x), se x > 0; 0, caso contrário }á para a > 0 e b em R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada de Fourier da função , onde e é um número real. Vamos precisar usar o conceito de transformada de Fourier, que é uma ferramenta matemática usada para analisar as frequências presentes em sinais ou funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. A transformada de Fourier de uma função é dada pela integral:
No nosso caso, a função é zero para , então a integral simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos combinar os expoentes da exponencial:
Então, a integral fica:

Passo 4

Essa é uma integral de uma função exponencial do tipo , cuja antiderivada é . Aplicando isso, temos:

Passo 5

Vamos avaliar os limites:
  • Quando , como , tende a zero.
  • Quando , .
Então, substituindo:

Passo 6

Podemos simplificar mais essa expressão multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador:

Resposta

A transformada de Fourier da função é:

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