Determine a transformada de Fourier das seguintes funções
(e)
para
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada de Fourier da função
, onde
e
é um número real. Vamos precisar usar o conceito de transformada de Fourier, que é uma ferramenta matemática usada para analisar as frequências presentes em sinais ou funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. A transformada de Fourier de uma função
é dada pela integral:
No nosso caso, a função
é zero para
, então a integral simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos combinar os expoentes da exponencial:
Então, a integral fica:
Passo 4
Essa é uma integral de uma função exponencial do tipo
, cuja antiderivada é
. Aplicando isso, temos:
Passo 5
Vamos avaliar os limites:
- Quando
, como , tende a zero. - Quando
, .
Então, substituindo:
Passo 6
Podemos simplificar mais essa expressão multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Resposta
A transformada de Fourier da função
é: