Determine a transformada de Fourier das seguintes funções
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Fourier juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Fourier da função definida no intervalo e zero fora desse intervalo. Aqui, estamos lidando com a matéria de Transformadas de Fourier, especialmente para funções definidas por partes. Para resolver isso, vamos usar a definição da transformada de Fourier e aproveitar as propriedades de simetria da função.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Fourier para uma função :
No nosso caso, como é zero fora de , a integral fica limitada a esse intervalo:
Passo 3
A função é par, ou seja, , e pode ser decomposto em partes pares e ímpares usando Euler:
Como é par e é ímpar, a parte imaginária da integral vai se anular. Assim, podemos simplificar a transformada para: