Determine a transformada de Fourier das seguintes funções f: R -> R
(a) f(x) = (1 - |x| / a) se -a < x < a, 0 caso contrárioá

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Fourier juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Fourier da função definida no intervalo e zero fora desse intervalo. Aqui, estamos lidando com a matéria de Transformadas de Fourier, especialmente para funções definidas por partes. Para resolver isso, vamos usar a definição da transformada de Fourier e aproveitar as propriedades de simetria da função.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Fourier para uma função :
No nosso caso, como é zero fora de , a integral fica limitada a esse intervalo:

Passo 3

A função é par, ou seja, , e pode ser decomposto em partes pares e ímpares usando Euler:
Como é par e é ímpar, a parte imaginária da integral vai se anular. Assim, podemos simplificar a transformada para:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral:
Podemos separar essa integral em duas partes:
Vamos resolver cada uma:
  1. Primeira Integral:
  1. Segunda Integral:
Para , usamos integração por partes:
Calculando:

Passo 5

Voltando às integrais:
Simplificando:
Finalmente:

Resposta

A transformada de Fourier da função é:

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