Determine a transformada de Fourier das seguintes funções
(f)
para
.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a Transformada de Fourier da função
, onde
e
é um número real. A Transformada de Fourier é uma ferramenta muito útil na matemática e engenharia para analisar funções no domínio da frequência. Para resolver esse problema, vamos precisar entender a definição da Transformada de Fourier e como aplicá-la a funções que envolvem exponenciais complexas e a função degrau unitário
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Fourier. Para uma função
, a sua Transformada de Fourier
é dada por:
Onde:
-
é a frequência, -
é a unidade imaginária.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. A função
é a função degrau unitário que é igual a 1 para
e 0 para
. Então, a nossa integral fica limitada de
até 0:
Passo 4
Vamos simplificar os expoentes. Multiplicando as duas exponenciais, temos:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos lembrar que a integral de uma exponencial
é:
Aplicando isso à nossa integral, temos:
Passo 6
Vamos calcular os limites dessa expressão. Primeiro, para
:
Agora, para
tendendo a
. Como
, o termo
tende a 0 quando
tende a
:
Passo 7
Subtraindo os limites, temos:
Resposta
A Transformada de Fourier da função dada é: