Determine a transformada de Fourier das seguintes funções f: R -> R
(f) f(x) = e^((a + i b) x) u0(-x) = { e^((a + i b) x), se x < 0; 0, caso contrário }á para a > 0 e b em R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a Transformada de Fourier da função , onde e é um número real. A Transformada de Fourier é uma ferramenta muito útil na matemática e engenharia para analisar funções no domínio da frequência. Para resolver esse problema, vamos precisar entender a definição da Transformada de Fourier e como aplicá-la a funções que envolvem exponenciais complexas e a função degrau unitário .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Fourier. Para uma função , a sua Transformada de Fourier é dada por:
Onde:
  • é a frequência,
  • é a unidade imaginária.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . A função é a função degrau unitário que é igual a 1 para e 0 para . Então, a nossa integral fica limitada de até 0:

Passo 4

Vamos simplificar os expoentes. Multiplicando as duas exponenciais, temos:
Então, a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos lembrar que a integral de uma exponencial é:
Aplicando isso à nossa integral, temos:

Passo 6

Vamos calcular os limites dessa expressão. Primeiro, para :
Agora, para tendendo a . Como , o termo tende a 0 quando tende a :

Passo 7

Subtraindo os limites, temos:

Resposta

A Transformada de Fourier da função dada é:

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