Determine
e
para que as funções dadas seja contínua sobre toda reta real. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos os valores de
e
de forma que a função dada seja contínua em toda a reta real. O conteúdo envolvido aqui é continuidade de funções e limites, além de um pouquinho de álgebra para simplificar expressões. Vamos precisar entender como a função se comporta perto de
e garantir que não haja “saltos” na função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos focar em garantir a continuidade da função no ponto
. Para que a função seja contínua nesse ponto, o limite de
quando
se aproxima de 2 deve ser igual ao valor da função em
, ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
tende a 2:
O problema aqui é que, se substituirmos
diretamente, obtemos uma forma indeterminada
. Para resolver isso, vamos simplificar a expressão.
Passo 4
Vamos fatorar o numerador
. Sabemos que
é uma diferença de cubos e pode ser fatorada da seguinte maneira:
Agora, substituímos isso na expressão original:
Podemos cancelar o termo
no numerador e denominador (desde que
):
Então, para
, a função simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite usando a expressão simplificada:
Passo 6
Para que a função seja contínua em
, o valor da função nesse ponto deve ser igual ao limite que acabamos de encontrar. Ou seja:
Resposta
O valor de
que torna a função contínua em toda a reta real é 12.