Determine e para que as funções dadas seja contínua sobre toda reta real. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos os valores de e de forma que a função dada seja contínua em toda a reta real. O conteúdo envolvido aqui é continuidade de funções e limites, além de um pouquinho de álgebra para simplificar expressões. Vamos precisar entender como a função se comporta perto de e garantir que não haja “saltos” na função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos focar em garantir a continuidade da função no ponto . Para que a função seja contínua nesse ponto, o limite de quando se aproxima de 2 deve ser igual ao valor da função em , ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando tende a 2:
O problema aqui é que, se substituirmos diretamente, obtemos uma forma indeterminada . Para resolver isso, vamos simplificar a expressão.

Passo 4

Vamos fatorar o numerador . Sabemos que é uma diferença de cubos e pode ser fatorada da seguinte maneira:
Agora, substituímos isso na expressão original:
Podemos cancelar o termo no numerador e denominador (desde que ):
Então, para , a função simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite usando a expressão simplificada:

Passo 6

Para que a função seja contínua em , o valor da função nesse ponto deve ser igual ao limite que acabamos de encontrar. Ou seja:

Resposta

O valor de que torna a função contínua em toda a reta real é 12.

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Determine e .
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