Determine
e
para que as funções dadas seja contínua sobre toda reta real. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar os valores de
e
de uma função, de modo que ela seja contínua em toda a reta real. A função dada é:
Vamos precisar usar conceitos de continuidade e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em todo o domínio. Para isso, a função não pode ter “quebras” ou “saltos” em nenhum ponto. Especificamente no ponto
, precisamos garantir que o valor da função lá (
) seja igual ao limite da função quando
se aproxima de
.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Observamos que para
, a função é:
Podemos simplificar essa expressão fatorando o numerador:
Então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o limite quando
tende a
:
Passo 5
Para que a função seja contínua em
, o valor da função nesse ponto deve ser igual ao limite que acabamos de calcular. Ou seja:
Passo 6
Resolvendo a equação
:
Resposta
Para que a função seja contínua em toda a reta real, o valor de
deve ser 4.