Determine e para que as funções dadas seja contínua sobre toda reta real. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar os valores de e de uma função, de modo que ela seja contínua em toda a reta real. A função dada é:
Vamos precisar usar conceitos de continuidade e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em todo o domínio. Para isso, a função não pode ter “quebras” ou “saltos” em nenhum ponto. Especificamente no ponto , precisamos garantir que o valor da função lá () seja igual ao limite da função quando se aproxima de .
Passo 3
Vamos calcular o limite de quando se aproxima de . Observamos que para , a função é:
Podemos simplificar essa expressão fatorando o numerador:
Então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o limite quando tende a :
Passo 5
Para que a função seja contínua em , o valor da função nesse ponto deve ser igual ao limite que acabamos de calcular. Ou seja:
Passo 6
Resolvendo a equação :
Resposta
Para que a função seja contínua em toda a reta real, o valor de deve ser 4.