Determine a e b para que as funções dadas seja contínua sobre toda reta real. Justifique.
f(x) = { (x^2 - a^2) / (x - a) se x ≠ a, 8 se x = a }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar os valores de e de uma função, de modo que ela seja contínua em toda a reta real. A função dada é:
Vamos precisar usar conceitos de continuidade e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em todo o domínio. Para isso, a função não pode ter “quebras” ou “saltos” em nenhum ponto. Especificamente no ponto , precisamos garantir que o valor da função lá ( ) seja igual ao limite da função quando se aproxima de .

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de . Observamos que para , a função é:
Podemos simplificar essa expressão fatorando o numerador:
Então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o limite quando tende a :

Passo 5

Para que a função seja contínua em , o valor da função nesse ponto deve ser igual ao limite que acabamos de calcular. Ou seja:

Passo 6

Resolvendo a equação :

Resposta

Para que a função seja contínua em toda a reta real, o valor de deve ser 4.

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