Determine as funções derivadas parciais e sendo

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A função é definida de duas formas: uma expressão para quando não é e zero quando é exatamente . Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação de funções de várias variáveis e como lidar com funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para , temos:
Vamos usar a regra do quociente para derivar:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . De novo, para :
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 4

Por fim, precisamos verificar as derivadas parciais no ponto . Aqui, vamos usar a definição de derivada parcial via limite.
Para :
Para :

Resposta

As derivadas parciais de são:

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Encontre a primeira e a segunda derivadas de .
Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
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