Determine as funções derivadas parciais partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y) sendo
b) f(x, y)=cc3 x^3-2 y^3x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A função é definida de duas formas: uma expressão para quando não é e zero quando é exatamente . Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação de funções de várias variáveis e como lidar com funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f(x, y) = 3x^3 - 2y^3x^2 + y^2 em relação a partial fpartial x = (9x^2)(x^2 + y^2) - (3x^3 - 2y^3)(2x)(x^2 + y^2)^2 , ou seja, partial fpartial x = 9x^4 + 9x^2y^2 - 6x^4 + 4xy^3(x^2 + y^2)^2 = 3x^4 + 9x^2y^2 + 4xy^3(x^2 + y^2)^2 . Para , temos:
Vamos usar a regra do quociente para derivar:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f(x, y) = 3x^3 - 2y^3x^2 + y^2 em relação a partial fpartial y = (-6y^2)(x^2 + y^2) - (3x^3 - 2y^3)(2y)(x^2 + y^2)^2 , ou seja, partial fpartial y = -6x^2y^2 -6y^4 -6x^3y +4y^4(x^2 + y^2)^2 = -6x^3y -6x^2y^2 -2y^4(x^2 + y^2)^2 . De novo, para :
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 4

Por fim, precisamos verificar as derivadas parciais no ponto partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h = limh to 0 3h^3h^2 - 0h = limh to 0 3hh = 3 . Aqui, vamos usar a definição de derivada parcial via limite.
Para partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k = limk to 0 -2k^3k^2 - 0k = limk to 0 -2kk = -2 :
Para :

Resposta

As derivadas parciais de partial fpartial x(x, y) = 3x^4 + 9x^2y^2 + 4xy^3(x^2 + y^2)^2 & se (x, y) neq (0,0) 3 & se (x, y) = (0,0) são:
partial fpartial y(x, y) = -6x^3y -6x^2y^2 -2y^4(x^2 + y^2)^2 & se (x, y) neq (0,0) -2 & se (x, y) = (0,0)

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