Seja
um conjunto e considere o conjunto parcialmente ordenado
. Sejam
e
subconjuntos de
. Determine o supremo de
, se existir;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
e estamos trabalhando com o conjunto das partes de
, denotado por
. Esse conjunto é parcialmente ordenado pela inclusão de conjuntos, ou seja, para dois subconjuntos
e
de
, dizemos que
se todo elemento de
está em
. A questão nos pede para encontrar o supremo do conjunto
dentro desse conjunto parcialmente ordenado, se esse supremo existir.
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de supremo em um conjunto parcialmente ordenado e como ele se aplica ao conjunto das partes de
com a ordem de inclusão.
Passo 2
Vamos relembrar o que é um supremo. Em um conjunto parcialmente ordenado, o supremo (ou menos limite superior) de um conjunto é o menor elemento que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto, de acordo com a ordem definida. No nosso caso, como a ordem é a inclusão de conjuntos, o supremo de
será o menor conjunto que contém tanto
quanto
.
Passo 3
Para encontrar esse supremo, precisamos identificar o menor conjunto que contém ambos
e
. Em termos de conjuntos, o menor conjunto que contém
e
é justamente a união dos conjuntos
e
. A união, denotada por
, é o conjunto formado por todos os elementos que estão em
, em
ou em ambos.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se esse conjunto união,
, satisfaz as condições para ser o supremo de
. Primeiro, ele claramente contém ambos os conjuntos
e
, pois todos os elementos de
e de
estão em
. Segundo, qualquer outro conjunto que contenha tanto
quanto
também deve conter
, pois toda união está incluída em qualquer conjunto que contém ambos os conjuntos originais.
Passo 5
Com isso, concluímos que
é o menor conjunto que contém
e
, ou seja, é o supremo de
no conjunto parcialmente ordenado
.
Resposta
O supremo de
é a união dos conjuntos
e
, ou seja,
.
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e
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