Seja A um conjunto e considere o conjunto parcialmente ordenado P(A), ⊆. Sejam X e Y subconjuntos de A. Determine o supremo de {X, Y}, se existir;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto A e estamos trabalhando com o conjunto das partes de A, denotado por P(A). Esse conjunto é parcialmente ordenado pela inclusão de conjuntos, ou seja, para dois subconjuntos X e Y de A, dizemos que se todo elemento de X está em Y. A questão nos pede para encontrar o supremo do conjunto {X, Y} dentro desse conjunto parcialmente ordenado, se esse supremo existir.
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de supremo em um conjunto parcialmente ordenado e como ele se aplica ao conjunto das partes de A com a ordem de inclusão.

Passo 2

Vamos relembrar o que é um supremo. Em um conjunto parcialmente ordenado, o supremo (ou menos limite superior) de um conjunto é o menor elemento que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto, de acordo com a ordem definida. No nosso caso, como a ordem é a inclusão de conjuntos, o supremo de {X, Y} será o menor conjunto que contém tanto X quanto Y.

Passo 3

Para encontrar esse supremo, precisamos identificar o menor conjunto que contém ambos X e Y. Em termos de conjuntos, o menor conjunto que contém X e Y é justamente a união dos conjuntos X e Y. A união, denotada por , é o conjunto formado por todos os elementos que estão em X, em Y ou em ambos.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se esse conjunto união, , satisfaz as condições para ser o supremo de {X, Y}. Primeiro, ele claramente contém ambos os conjuntos X e Y, pois todos os elementos de X e de Y estão em . Segundo, qualquer outro conjunto que contenha tanto X quanto Y também deve conter , pois toda união está incluída em qualquer conjunto que contém ambos os conjuntos originais.

Passo 5

Com isso, concluímos que é o menor conjunto que contém X e Y, ou seja, é o supremo de {X, Y} no conjunto parcialmente ordenado P(A), ⊆.

Resposta

O supremo de {X, Y} é a união dos conjuntos X e Y, ou seja, .

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