Seja um conjunto e considere o conjunto parcialmente ordenado . Sejam e subconjuntos de . Determine o supremo de , se existir;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto e estamos trabalhando com o conjunto das partes de , denotado por . Esse conjunto é parcialmente ordenado pela inclusão de conjuntos, ou seja, para dois subconjuntos e de , dizemos que se todo elemento de está em . A questão nos pede para encontrar o supremo do conjunto dentro desse conjunto parcialmente ordenado, se esse supremo existir.
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de supremo em um conjunto parcialmente ordenado e como ele se aplica ao conjunto das partes de com a ordem de inclusão.

Passo 2

Vamos relembrar o que é um supremo. Em um conjunto parcialmente ordenado, o supremo (ou menos limite superior) de um conjunto é o menor elemento que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto, de acordo com a ordem definida. No nosso caso, como a ordem é a inclusão de conjuntos, o supremo de será o menor conjunto que contém tanto quanto .

Passo 3

Para encontrar esse supremo, precisamos identificar o menor conjunto que contém ambos e . Em termos de conjuntos, o menor conjunto que contém e é justamente a união dos conjuntos e . A união, denotada por , é o conjunto formado por todos os elementos que estão em , em ou em ambos.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se esse conjunto união, , satisfaz as condições para ser o supremo de . Primeiro, ele claramente contém ambos os conjuntos e , pois todos os elementos de e de estão em . Segundo, qualquer outro conjunto que contenha tanto quanto também deve conter , pois toda união está incluída em qualquer conjunto que contém ambos os conjuntos originais.

Passo 5

Com isso, concluímos que é o menor conjunto que contém e , ou seja, é o supremo de no conjunto parcialmente ordenado .

Resposta

O supremo de é a união dos conjuntos e , ou seja, .

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