Determine as funções elementares e de modo que , quando é uma função real dada por uma das leis abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar duas funções, e , que quando você aplica uma depois da outra ( ), o resultado seja . Para isso, vamos usar conceitos básicos de composição de funções e funções elementares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, se você tem , e depois aplica no resultado de , você deve obter . Ou seja:

Passo 3

Vamos pensar em como podemos decompor em duas etapas simples. Uma ideia é primeiro aplicar a função que dá e depois aplicar outra função que, quando receber , eleva ao quadrado.

Passo 4

Então, podemos definir como a função que calcula o tangente de :

Passo 5

Agora, queremos que receba o resultado de , que é , e transforme isso em . A função que faz isso é a função de elevar ao quadrado:

Passo 6

Vamos verificar se isso funciona. Aplicando em :
Depois, aplicando no resultado:
Isso confirma que .

Resposta

As funções que satisfazem são:

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