Determine as funções elementares
e
de modo que
, quando
é uma função real dada por uma das leis abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar duas funções,
e
, que quando você aplica uma depois da outra (
), o resultado seja
. Para isso, vamos usar conceitos básicos de composição de funções e funções elementares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que, se você tem
, e depois aplica
no resultado de
, você deve obter
. Ou seja:
Passo 3
Vamos pensar em como podemos decompor
em duas etapas simples. Uma ideia é primeiro aplicar a função que dá
e depois aplicar outra função que, quando receber
, eleva ao quadrado.
Passo 4
Então, podemos definir
como a função que calcula o tangente de
:
Passo 5
Agora, queremos que
receba o resultado de
, que é
, e transforme isso em
. A função que faz isso é a função de elevar ao quadrado:
Passo 6
Vamos verificar se isso funciona. Aplicando
em
:
Depois, aplicando
no resultado:
Isso confirma que
.
Resposta
As funções que satisfazem
são:
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