Determine as funções elementares e de modo que , quando é uma função real dada por uma das leis abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos duas funções elementares, chamadas e , de modo que, quando a gente compõe essas funções (), o resultado seja a função dada . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre composição de funções e sobre funções elementares como polinômios e funções valor absoluto.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função . Sabemos que é um polinômio de segundo grau, e o valor absoluto está aplicando uma transformação sobre esse polinômio. Então, uma maneira de decompor é separar essa transformação em duas partes: uma que representa o polinômio e outra que representa a aplicação do valor absoluto.
Passo 3
Vamos definir a função como o polinômio dentro do valor absoluto. Ou seja:
Assim, a função pega qualquer valor de , eleva ao quadrado, soma 1 e retorna esse resultado.
Passo 4
Agora, queremos que seja igual a . Sabemos que deve ser igual a . Já definimos , então substituindo:
Isso significa que a função deve transformar qualquer entrada em .
Passo 5
Portanto, podemos definir a função como a função valor absoluto:
Com isso, quando aplicamos e depois a esse resultado, obtemos exatamente .