Resolva a equação diferencial a seguir usando a transformada de Fourier
Aqui
é uma constante positiva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Fourier. A equação que temos é:
Aqui,
é uma constante positiva. Para resolver isso, vamos usar a transformada de Fourier, que nos ajuda a transformar equações diferenciais em funções mais fáceis de resolver no domínio da frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Fourier em ambos os lados da equação em relação a
. A transformada de Fourier de uma função
é definida por:
Aplicando a transformada de Fourier na equação diferencial, temos:
Passo 3
Sabemos que a transformada de Fourier da segunda derivada espacial é:
E a transformada da derivada temporal é:
Substituindo essas na equação transformada:
Passo 4
Agora, vamos reorganizar essa equação para termos uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem em termos de
:
Essa é uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação pode ser encontrada resolvendo a equação característica associada.
Passo 5
A equação característica é:
Resolvendo essa equação quadrática para
, temos:
Simplificando a raiz quadrada, obtemos:
Passo 6
Com as raízes complexas, a solução geral para
é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais transformadas.
Passo 7
Para obter a solução no domínio espacial, aplicamos a transformada inversa de Fourier:
As constantes
e
dependem das condições iniciais
e
, que seriam especificadas no problema completo.
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada, usando a transformada de Fourier, é:
Onde
e
são determinadas pelas condições iniciais do problema.