Encontre e esboce no plano cartesiano o domínio da função z = f(x, y) = (x^2 + y^2) / (x^2 - y^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar e desenhar no plano cartesiano o domínio da função . Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de e essa função está bem definida. Vamos usar conceitos de funções de duas variáveis e verificar onde o denominador não é zero.

Passo 2

Primeiro, o domínio de uma função é o conjunto de todos os pares para os quais a função existe. No caso dessa função, como ela é uma fração, o denominador não pode ser zero. Então, precisamos garantir que .

Passo 3

Vamos resolver a inequação . Essa expressão pode ser fatorada usando a diferença de quadrados:
Para que o produto seja diferente de zero, ambos os fatores devem ser diferentes de zero:
Isso significa que:

Passo 4

Então, resumindo, o domínio da função é todo o plano cartesiano menos os pontos onde e . Essas duas equações representam duas retas no plano: uma reta inclinada a 45 graus e outra inclinada a -45 graus. Vamos esboçar isso para visualizar melhor.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pares no plano cartesiano, exceto onde ou . Em outras palavras:
í
Isso significa que a função está definida para todos os pontos do plano, menos nas retas e .

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