Encontre e esboce no plano cartesiano o domínio da função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar e desenhar no plano cartesiano o domínio da função
. Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de
e
essa função está bem definida. Vamos usar conceitos de funções de duas variáveis e verificar onde o denominador não é zero.
Passo 2
Primeiro, o domínio de uma função é o conjunto de todos os pares
para os quais a função existe. No caso dessa função, como ela é uma fração, o denominador não pode ser zero. Então, precisamos garantir que
.
Passo 3
Vamos resolver a inequação
. Essa expressão pode ser fatorada usando a diferença de quadrados:
Para que o produto seja diferente de zero, ambos os fatores devem ser diferentes de zero:
Isso significa que:
Passo 4
Então, resumindo, o domínio da função é todo o plano cartesiano
menos os pontos onde
e
. Essas duas equações representam duas retas no plano: uma reta inclinada a 45 graus e outra inclinada a -45 graus. Vamos esboçar isso para visualizar melhor.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
no plano cartesiano, exceto onde
ou
. Em outras palavras:
Isso significa que a função está definida para todos os pontos do plano, menos nas retas
e
.