Determine se os seguintes limites: $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x-y}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}$.

Passo 1

Então, temos um limite para calcular: . Vamos usar cálculo de limites em funções de várias variáveis. Precisamos verificar se o limite existe quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador . Quando se aproxima de , tende a 0, então a expressão dentro da raiz tende a 1. Portanto, tende a .

Passo 3

Agora, olhemos para o numerador . À medida que se aproxima de , tanto quanto tendem a 0, então também tende a 0.

Passo 4

Como o numerador tende a 0 e o denominador tende a 1, o limite geral da fração será o limite do numerador dividido pelo limite do denominador. Assim:

Resposta

O limite é igual a 0.

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<html><head></head><body><div>Encontre e esboce no plano cartesiano o domínio da função <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -1.182ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“18.835ex” height=“3.613ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1074.6 8325.2 1596.9”><title>z = f(x, y) = (x^2 + y^2) / (x^2 - y^2)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D467” d=“M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(742.8,0)”><path 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211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1008.6,0)”><path data-c=“2B” d=“M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z”></path></g><g data-mml-node=“msup” transform=“translate(1786.6,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D466” d=“M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -2.827ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“25.667ex” height=“6.785ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1749.5 11344.9 2999”><title>f(x, y) = { x4/y2, se y ≠ 0; 0, se y = 0 }</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 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<html><head></head><body><div>Determine se as funções a seguir são contínuas em <span class=“math-inline “>
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