Determine se as funções a seguir são contínuas em (0,0). f(x, y) = { (x+y)/(x-y), se (x, y) ≠ (0,0) ; 0, se (x, y) = (0,0) }

Passo 1

Vamos analisar o exercício: Precisamos determinar se a função definida por
é contínua no ponto . Estamos trabalhando com cálculo de funções de duas variáveis e vamos precisar verificar o limite da função quando se aproxima de .

Passo 2

Para verificar a continuidade no ponto , precisamos checar se o limite de quando tende a é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0. Ou seja, precisamos calcular:

Passo 3

Uma forma de verificar o limite é calcular o valor da função ao se aproximar de por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo em todos os caminhos, então o limite existe e é igual a esse valor. Se não, o limite não existe.

Passo 4

Vamos testar o limite ao se aproximar por duas retas diferentes:
  1. Caminho 1: Aproximação ao longo da reta .
Substituindo na função:
Isso é indefinido, o que indica que a função não tem limite ao se aproximar por esse caminho.
  1. Caminho 2: Aproximação ao longo da reta .
Substituindo na função:
Aqui, o limite é 0.

Passo 5

Como obtemos resultados diferentes ao se aproximar por caminhos distintos ( indefinido em e 0 em ), concluímos que o limite não existe.

Resposta

A função não é contínua no ponto .

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