Determine se as funções a seguir são contínuas em
.
Passo 1
Vamos analisar o exercício: Precisamos determinar se a função
definida por
é contínua no ponto
. Estamos trabalhando com cálculo de funções de duas variáveis e vamos precisar verificar o limite da função quando
se aproxima de
.
Passo 2
Para verificar a continuidade no ponto
, precisamos checar se o limite de
quando
tende a
é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0. Ou seja, precisamos calcular:
Passo 3
Uma forma de verificar o limite é calcular o valor da função ao se aproximar de
por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo em todos os caminhos, então o limite existe e é igual a esse valor. Se não, o limite não existe.
Passo 4
Vamos testar o limite ao se aproximar por duas retas diferentes:
- Caminho 1: Aproximação ao longo da reta
.
Substituindo
na função:
Isso é indefinido, o que indica que a função não tem limite ao se aproximar por esse caminho.
- Caminho 2: Aproximação ao longo da reta
.
Substituindo
na função:
Aqui, o limite é 0.
Passo 5
Como obtemos resultados diferentes ao se aproximar por caminhos distintos (
indefinido em
e 0 em
), concluímos que o limite não existe.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
.