Estude os valores extremos das seguintes funções: f(x, y) = x + y + z com as restrições g(x, y, z) = x - y + z = 1 e h(x, y, z) = x^2 + y^2 = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa estudar os valores extremos da função com as restrições dadas por e . Isso tudo faz parte do estudo de otimização com restrições usando o método dos multiplicadores de Lagrange. Vamos precisar entender como aplicar esse método para encontrar os pontos onde a função atinge seus valores máximos ou mínimos dadas as restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a função de Lagrange, que combina a função que queremos otimizar com as restrições multiplicadas por seus respectivos multiplicadores (chamados de e ). A função de Lagrange fica assim:
Substituindo as funções dadas:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a cada variável ( ) e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações que vamos resolver para encontrar os valores extremos.
Primeiro, derivada em relação a :
Em relação a :
Em relação a :
Em relação a :
Em relação a :

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Começamos pela equação obtida ao derivar em relação a :
Agora, substituímos nas outras equações:
Para a derivada em :
Para a derivada em :
Então, temos duas possíveis situações:
  1. Se , da equação , isso não é possível porque nunca será igual a 1. Portanto, .
  2. Dessa forma, (pois ).
Então, sabemos que .

Passo 5

Com , vamos usar a restrição :
Agora, vamos encontrar o valor de usando a restrição :
Para :
Para :
Então, temos dois pontos candidatos para extrema:

Passo 6

Vamos calcular o valor da função em cada ponto para identificar os extremos.
Para :
Para :

Resposta

Os valores extremos da função são:
  • Máximo: 3, no ponto
  • Mínimo: -1, no ponto

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