Estude os valores extremos das seguintes funções:
com as restrições
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa estudar os valores extremos da função
com as restrições dadas por
e
. Isso tudo faz parte do estudo de otimização com restrições usando o método dos multiplicadores de Lagrange. Vamos precisar entender como aplicar esse método para encontrar os pontos onde a função
atinge seus valores máximos ou mínimos dadas as restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a função de Lagrange, que combina a função que queremos otimizar com as restrições multiplicadas por seus respectivos multiplicadores (chamados de
e
). A função de Lagrange fica assim:
Substituindo as funções dadas:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a cada variável (
) e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações que vamos resolver para encontrar os valores extremos.
Primeiro, derivada em relação a
:
Em relação a
:
Em relação a
:
Em relação a
:
Em relação a
:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Começamos pela equação obtida ao derivar em relação a
:
Agora, substituímos
nas outras equações:
Para a derivada em
:
Para a derivada em
:
Então, temos duas possíveis situações:
-
Se
, da equação , isso não é possível porque nunca será igual a 1. Portanto, . -
Dessa forma,
(pois ).
Então, sabemos que
.
Passo 5
Com
, vamos usar a restrição
:
Agora, vamos encontrar o valor de
usando a restrição
:
Para
:
Para
:
Então, temos dois pontos candidatos para extrema:
Passo 6
Vamos calcular o valor da função
em cada ponto para identificar os extremos.
Para
:
Para
:
Resposta
Os valores extremos da função
são:
- Máximo: 3, no ponto
- Mínimo: -1, no ponto