Estude os valores extremos das seguintes funções:
com as restrições
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa estudar os valores extremos da função
com as restrições dadas por
e
. Isso tudo faz parte do estudo de otimização com restrições usando o método dos multiplicadores de Lagrange. Vamos precisar entender como aplicar esse método para encontrar os pontos onde a função
atinge seus valores máximos ou mínimos dadas as restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a função de Lagrange, que combina a função que queremos otimizar com as restrições multiplicadas por seus respectivos multiplicadores (chamados de
e
). A função de Lagrange fica assim:
Substituindo as funções dadas:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a cada variável (
) e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações que vamos resolver para encontrar os valores extremos.
Primeiro, derivada em relação a
:
Em relação a
:
Em relação a
:
Em relação a
:
Em relação a
:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Começamos pela equação obtida ao derivar em relação a
:
Agora, substituímos
nas outras equações:
Para a derivada em
:
Para a derivada em
:
Então, temos duas possíveis situações:
-
Se
, da equação , isso não é possível porque nunca será igual a 1. Portanto, . -
Dessa forma,
(pois ).
Então, sabemos que
.
Passo 5
Com
, vamos usar a restrição
:
Agora, vamos encontrar o valor de
usando a restrição
:
Para
:
Para
:
Então, temos dois pontos candidatos para extrema:
Passo 6
Vamos calcular o valor da função
em cada ponto para identificar os extremos.
Para
:
Para
:
Resposta
Os valores extremos da função
são:
- Máximo: 3, no ponto
- Mínimo: -1, no ponto
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data-mml-node=“mo” transform=“translate(7178.9,0)”><path data-c=“2E” d=“M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z”></path></g></g></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(11476,0) translate(0 250)”></g></g></g></g></svg></mjx-container></span></div>
</body></html>
Determine se os seguintes limites:
.
<html><head></head><body><div>Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 e 2 das seguintes funções: <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“16.574ex” height=“2.47ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -841.7 7325.8 1091.7”><title>f(x, y) = x^4 + y^4</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“5.029ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 2222.7 1000”><title>1,1</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mo”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(389,0)”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(889,0)”><path data-c=“2C” d=“M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(1333.7,0)”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1833.7,0)”><path data-c=“29” d=“M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>;</div>
</body></html>
<html><head></head><body><div>Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 e 2 das seguintes funções: <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“21.536ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 9518.9 1000”><title>f(x, y) = sen(x) cos(y)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 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