Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 e 2 das seguintes funções:
em torno do ponto
;
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar o polinômio de Taylor de ordem 1 e 2 em torno do ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de polinômios de Taylor para funções de duas variáveis, que envolvem derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto
. Substituindo na função:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem de
em relação a
e
.
Avaliar essas derivadas no ponto
:
Passo 4
O polinômio de Taylor de ordem 1 para
em torno de
é dado por:
Substituindo os valores encontrados:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o polinômio de Taylor de ordem 2. Precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Avaliando no ponto
:
Passo 6
O polinômio de Taylor de ordem 2 é:
Substituindo os valores:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem 1 é
e de ordem 2 é
.