(a) Determine qual ou quais das funções
e
são soluções da equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de equações diferenciais. A gente precisa descobrir quais das funções
,
,
e
satisfazem a equação diferencial dada:
Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda de cada função e substituir na equação para ver se ela se iguala a zero.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função
.
Primeiro, calculamos as derivadas:
Agora, substituímos na equação diferencial:
Simplificando:
Como a igualdade é verdadeira,
é uma solução da equação.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda função
.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Expandindo:
Simplificando:
Essa expressão não é igual a zero para todo
, então
não é uma solução da equação.
Passo 4
Vamos para a terceira função
.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Expandindo:
Simplificando:
Esse resultado não é igual a zero para todo
, então
não é uma solução da equação.
Passo 5
Finalmente, vamos testar a quarta função
.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Distribuindo:
Fatorando
:
Simplificando dentro dos colchetes:
Como a igualdade se sustenta,
é uma solução da equação.
Resposta
As funções que são soluções da equação diferencial são:
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Determine a solução geral das EDOs:
Em cada item, encontre uma equação polar para a curva representada pela equação cartesiana dada.
(e) .
(e)
Verifique que
e
são soluções da EDO
e obtenha a solução do problema de valor inicial
Exercício 1 (4 pontos). Esboce o gráfico da função