(a) Determine qual ou quais das funções e são soluções da equação

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de equações diferenciais. A gente precisa descobrir quais das funções , , e satisfazem a equação diferencial dada:
Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda de cada função e substituir na equação para ver se ela se iguala a zero.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função .
Primeiro, calculamos as derivadas:
Agora, substituímos na equação diferencial:
Simplificando:
Como a igualdade é verdadeira, é uma solução da equação.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda função .
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Expandindo:
Simplificando:
Essa expressão não é igual a zero para todo , então não é uma solução da equação.

Passo 4

Vamos para a terceira função .
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Expandindo:
Simplificando:
Esse resultado não é igual a zero para todo , então não é uma solução da equação.

Passo 5

Finalmente, vamos testar a quarta função .
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Distribuindo:
Fatorando :
Simplificando dentro dos colchetes:
Como a igualdade se sustenta, é uma solução da equação.

Resposta

As funções que são soluções da equação diferencial são:

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(e) .
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