Exercício 1 (4 pontos). Esboce o gráfico da função

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para esboçar o gráfico da função
Aqui, vamos usar conceitos de funções trigonométricas inversas, especialmente a arctangente, além de entender como manipular expressões racionais. Vamos precisar analisar o comportamento da função, encontrar seus interceptos e assíntotas para desenhar o gráfico direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da arctan. Observamos que:
Então, a função fica:
Isso ajuda a entender melhor como a função se comporta conforme varia.

Passo 3

Vamos encontrar os interceptos da função. Para isso, calculamos :
Então, o gráfico passa pelo ponto .

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento da função para grandes valores de . Quando tende a :
Então,
Isso mostra que para grandes , o gráfico tende a uma reta decrescente com inclinação -2.

Passo 5

Vamos verificar se há assíntotas verticais. A expressão dentro da arctan, , tem denominador zero quando . Porém, a arctan está definida para todos os reais, então não há assíntotas verticais, mas podemos verificar o comportamento próximo a :
Isso indica que o gráfico tem uma espécie de “salto” em .

Resposta

O gráfico da função passa pelo ponto , tende a uma reta decrescente com inclinação -2 para grande positivo, e apresenta um salto no ponto . Com essas informações, podemos esboçar um gráfico que reflete esses comportamentos.

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