Exercício 1 (4 pontos). Esboce o gráfico da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para esboçar o gráfico da função
Aqui, vamos usar conceitos de funções trigonométricas inversas, especialmente a arctangente, além de entender como manipular expressões racionais. Vamos precisar analisar o comportamento da função, encontrar seus interceptos e assíntotas para desenhar o gráfico direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da arctan. Observamos que:
Então, a função fica:
Isso ajuda a entender melhor como a função se comporta conforme
varia.
Passo 3
Vamos encontrar os interceptos da função. Para isso, calculamos
:
Então, o gráfico passa pelo ponto
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento da função para grandes valores de
. Quando
tende a
:
Então,
Isso mostra que para grandes
, o gráfico tende a uma reta decrescente com inclinação -2.
Passo 5
Vamos verificar se há assíntotas verticais. A expressão dentro da arctan,
, tem denominador zero quando
. Porém, a arctan está definida para todos os reais, então não há assíntotas verticais, mas podemos verificar o comportamento próximo a
:
Isso indica que o gráfico tem uma espécie de “salto” em
.
Resposta
O gráfico da função
passa pelo ponto
, tende a uma reta decrescente com inclinação -2 para
grande positivo, e apresenta um salto no ponto
. Com essas informações, podemos esboçar um gráfico que reflete esses comportamentos.