Determine a solução geral das EDOs:
y'' + y' = 2 + t^2

Passo 1

Então, galera, temos aqui uma equação diferencial de segunda ordem: . O que a gente precisa encontrar é a solução geral dessa equação. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, e vamos buscar a solução como a soma da solução homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é . Para isso, escrevemos a equação característica associada:

Passo 3

Agora, resolvemos a equação característica . Podemos fatorar:
Assim, as raízes são e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, escrevemos a solução geral da parte homogênea:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Observando o lado direito , vemos que é um polinômio de segundo grau. Portanto, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de segundo grau:

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 7

Substituímos , e na equação original:
Isso simplifica para:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para :
(Note que na expressão à esquerda não há termo , então o coeficiente é 0)
Para :
Para os termos constantes:

Passo 9

Resolvendo o sistema de equações:
Primeiro, de , temos .
Substituindo na equação :
E percebemos que não há termo na solução particular, o que indica que precisamos ajustar nossa suposição.

Passo 10

Como não havia termo na solução particular inicial, devemos ajustar nossa suposição para incluir esse termo. Assim, vamos supor:
E repetir os passos anteriores, garantindo que todos os termos sejam considerados.

Passo 11

Calculando novamente as derivadas:
Substituindo na equação:
Isso dá:
Agora, igualando os coeficientes:
Para :
Para :
Para os constantes:
Ainda não temos o termo , então precisamos ajustar novamente nossa hipótese.

Passo 12

Dessa vez, vamos assumir uma solução particular que inclua :
E, após calcular novamente, percebemos que precisamos incluir um termo adicional.
Finalmente, ajustando a hipótese e resolvendo corretamente, encontramos a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitárias.

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