Determine a solução geral das EDOs:
Passo 1
Então, galera, temos aqui uma equação diferencial de segunda ordem:
. O que a gente precisa encontrar é a solução geral dessa equação. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, e vamos buscar a solução como a soma da solução homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é
. Para isso, escrevemos a equação característica associada:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação característica
. Podemos fatorar:
Assim, as raízes são
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, escrevemos a solução geral da parte homogênea:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Observando o lado direito
, vemos que é um polinômio de segundo grau. Portanto, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de segundo grau:
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 7
Substituímos
,
e
na equação original:
Isso simplifica para:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para
:
(Note que na expressão à esquerda não há termo
, então o coeficiente é 0)
Para
:
Para os termos constantes:
Passo 9
Resolvendo o sistema de equações:
Primeiro, de
, temos
.
Substituindo
na equação
:
E percebemos que não há termo
na solução particular, o que indica que precisamos ajustar nossa suposição.
Passo 10
Como não havia termo
na solução particular inicial, devemos ajustar nossa suposição para incluir esse termo. Assim, vamos supor:
E repetir os passos anteriores, garantindo que todos os termos sejam considerados.
Passo 11
Calculando novamente as derivadas:
Substituindo na equação:
Isso dá:
Agora, igualando os coeficientes:
Para
:
Para
:
Para os constantes:
Ainda não temos o termo
, então precisamos ajustar novamente nossa hipótese.
Passo 12
Dessa vez, vamos assumir uma solução particular que inclua
:
E, após calcular novamente, percebemos que precisamos incluir um termo adicional.
Finalmente, ajustando a hipótese e resolvendo corretamente, encontramos a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitárias.