Verifique que e são soluções da EDO e obtenha a solução do problema de valor inicial

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO). Precisamos verificar se as funções e são soluções da EDO dada por:
Depois, temos que encontrar a solução que satisfaz as condições iniciais:
Pra resolver isso, vamos precisar saber como verificar se uma função é solução da EDO e como montar a solução geral usando combinações lineares das soluções encontradas. Também vamos aplicar as condições iniciais pra achar os coeficientes dessa combinação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é uma solução da EDO. Para isso, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de .
A derivada primeira de é:
A derivada segunda de é:
Agora, substituímos , e na EDO:
Simplificando:
Como a igualdade se confirma, é realmente uma solução da EDO.

Passo 3

Agora, vamos verificar se também é uma solução. Calculamos as derivadas:
Substituindo na EDO:
Simplificando:
De novo, a igualdade se mantém, então também é uma solução da EDO.

Passo 4

Como temos duas soluções da EDO, a solução geral da equação homogênea será uma combinação linear delas. Ou seja:
Onde e são constantes que a gente precisa determinar usando as condições iniciais fornecidas.

Passo 5

Vamos usar as condições iniciais e .
Primeiro, calculamos a derivada da solução geral:
Agora, aplicamos :
çã
E aplicamos :
çã

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Da Equação 1, podemos expressar em função de :
Substituímos esse valor na Equação 2:
Agora, substituímos na Equação 1:

Passo 7

Com os valores de e , podemos escrever a solução particular que satisfaz as condições iniciais:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

(a) Determine qual ou quais das funções e são soluções da equação
Determine a solução geral das EDOs:
Exercício 1 (4 pontos). Esboce o gráfico da função
Exercício 4 (1 ponto). Determine o seguinte limite, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo: