a) Determine qual ou quais das funções z1(x)=x^2, z2(x)=x^3, z3(x)=e^(-x) são soluções da equação (x+3) y'' + (x+2) y' - y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir quais das funções , e são soluções da equação diferencial
Então, vamos precisar saber como calcular as derivadas das funções e substituir na equação para ver se dá certo.

Passo 2

Primeiro, vamos testar a função .
  1. Calculamos a primeira derivada:
  1. Agora, a segunda derivada:
  1. Substituímos , e na equação diferencial:
  1. Fazendo as contas:
  1. Como para todo , a função não é solução.

Passo 3

Agora, vamos verificar a função .
  1. Primeira derivada:
  1. Segunda derivada:
  1. Substituindo na equação:
  1. Calculando:
  1. Como para todo , a função não é solução.

Passo 4

Por fim, vamos testar a função .
  1. Primeira derivada:
  1. Segunda derivada:
  1. Substituindo na equação:
  1. Simplificando:
  1. Como deu zero, a função é solução.

Resposta

A única função que é solução da equação diferencial é .

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