Sejam y1(x) = x^2 e a EDO x^2 y'' - 3 x y' + 4 y = 0. Mostre que y1(x) é uma solução da EDO.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial (EDO) que envolve a função . O objetivo aqui é mostrar que essa função realmente satisfaz a EDO dada, que é . Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda de e substituir esses valores na equação para ver se ela se iguala a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de . A derivada de em relação a é:

Passo 4

Com as derivadas em mãos, vamos substituir , e na equação diferencial original:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:

Passo 6

Agora, somamos todos os termos juntos:

Resposta

Como a substituição resultou em zero, mostramos que é, de fato, uma solução da equação diferencial .

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