Sejam y1(x) = x^2 e a EDO x^2 y'' - 3 x y' + 4 y = 0. Determine a solução geral da EDO no intervalo (0, infinito).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem: . A gente também sabe que uma solução dessa equação é . Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa EDO no intervalo . Para isso, vamos usar o método de redução de ordem, que ajuda a encontrar uma segunda solução quando já conhecemos uma solução da EDO homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma EDO homogênea de segunda ordem, se já conhecemos uma solução , podemos encontrar uma segunda solução pela fórmula:
Aqui, é o coeficiente de na equação diferencial padrão . Mas, para aplicarmos essa fórmula, precisamos primeiro colocar nossa EDO na forma padrão.

Passo 3

Vamos reescrever a EDO dividindo tudo por para obter o formato padrão:
Agora, identificamos que:

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Então:

Passo 5

Sabendo que , vamos calcular . Agora, substituindo tudo na fórmula para :

Passo 6

Agora que temos as duas soluções independentes e , a solução geral da EDO é uma combinação linear dessas soluções:
onde e são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da EDO no intervalo é:
onde e são constantes quaisquer.

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