Sejam
e a EDO
. Determine a solução geral da EDO no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
. A gente também sabe que uma solução dessa equação é
. Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa EDO no intervalo
. Para isso, vamos usar o método de redução de ordem, que ajuda a encontrar uma segunda solução quando já conhecemos uma solução da EDO homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma EDO homogênea de segunda ordem, se já conhecemos uma solução
, podemos encontrar uma segunda solução
pela fórmula:
Aqui,
é o coeficiente de
na equação diferencial padrão
. Mas, para aplicarmos essa fórmula, precisamos primeiro colocar nossa EDO na forma padrão.
Passo 3
Vamos reescrever a EDO
dividindo tudo por
para obter o formato padrão:
Agora, identificamos que:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Então:
Passo 5
Sabendo que
, vamos calcular
. Agora, substituindo tudo na fórmula para
:
Passo 6
Agora que temos as duas soluções independentes
e
, a solução geral da EDO é uma combinação linear dessas soluções:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da EDO no intervalo
é:
onde
e
são constantes quaisquer.