Determine a transformada de Fourier inversa das funções a seguir utilizando a tabela de transformadas vista em sala de aula.
(b)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Queremos encontrar a transformada de Fourier inversa de uma função definida por partes. A matéria aqui é Transformada de Fourier, e vamos precisar usar a tabela de transformadas e propriedades básicas da transformada inversa.

Passo 2

A função dada é:
Essa função é definida apenas para . Vamos identificar uma expressão que possamos relacionar com a tabela de transformadas de Fourier.

Passo 3

Sabemos que a transformada de Fourier inversa é dada por:
Mas como nossa função é zero para , podemos simplificar a integral para de 0 a :

Passo 4

Vamos expressar em termos de exponenciais complexas usando a identidade:
Substituindo na integral:

Passo 5

Simplificando os termos dentro da integral:
Portanto:

Passo 6

Agora, reconhecemos que as integrais são da forma , onde é algum termo constante. Aplicando isso:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de :
Vamos simplificar cada termo. Primeiro, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado para racionalizar.

Passo 8

Fazendo isso:
Para :
Para :

Passo 9

Substituindo de volta em :
Agora, separamos as partes reais e imaginárias.

Passo 10

Como estamos interessados na parte real, já que estamos lidando com funções reais no domínio do tempo:
Os termos vão cancelar, resultando em:

Resposta

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(d) á
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