Determine a transformada de Fourier inversa das funções a seguir utilizando a tabela de transformadas vista em sala de aula.
(b)
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Queremos encontrar a transformada de Fourier inversa de uma função definida por partes. A matéria aqui é Transformada de Fourier, e vamos precisar usar a tabela de transformadas e propriedades básicas da transformada inversa.
Passo 2
A função dada é:
Essa função é definida apenas para
. Vamos identificar uma expressão que possamos relacionar com a tabela de transformadas de Fourier.
Passo 3
Sabemos que a transformada de Fourier inversa é dada por:
Mas como nossa função
é zero para
, podemos simplificar a integral para
de 0 a
:
Passo 4
Vamos expressar
em termos de exponenciais complexas usando a identidade:
Substituindo na integral:
Passo 5
Simplificando os termos dentro da integral:
Portanto:
Passo 6
Agora, reconhecemos que as integrais são da forma
, onde
é algum termo constante. Aplicando isso:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão de
:
Vamos simplificar cada termo. Primeiro, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado para racionalizar.
Passo 8
Fazendo isso:
Para
:
Para
:
Passo 9
Substituindo de volta em
:
Agora, separamos as partes reais e imaginárias.
Passo 10
Como estamos interessados na parte real, já que estamos lidando com funções reais no domínio do tempo:
Os termos
vão cancelar, resultando em:
Resposta
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©
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(d)
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(d)
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Determine
de duas maneiras diferentes.