O wronskiano de duas funções é . As funções são linearmente independentes ou linearmente dependentes? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se duas funções são linearmente independentes ou dependentes usando o wronskiano, que é dado por . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa linearmente independentes e como o wronskiano nos ajuda nisso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o wronskiano. O wronskiano de duas funções e é dado por:
Ele nos ajuda a determinar se as funções são linearmente independentes. Se o wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo considerado, as funções são linearmente independentes. Caso contrário, são dependentes.

Passo 3

No nosso caso, o wronskiano é . Vamos analisar quando esse valor é zero:
  • , onde é um inteiro
Então, nos pontos onde é múltiplo de , incluindo .

Passo 4

Agora, é importante entender que, mesmo que o wronskiano seja zero em alguns pontos, se houver algum ponto no intervalo onde ele é diferente de zero, as funções são consideradas linearmente independentes nesse intervalo.

Passo 5

Observando , vemos que para diferente de múltiplos de , especialmente para , não é zero. Por exemplo, para :
Isso mostra que existe pelo menos um ponto onde o wronskiano não é zero.

Resposta

As funções são linearmente independentes porque o wronskiano é diferente de zero em pelo menos um ponto do intervalo considerado.

Exercícios relacionados

Para as funções dadas a seguir, calcule as derivadas parciais e :
(d)
Estabeleça a integral tripla de uma função contínua arbitrária em coordenadas cilíndricas ou esféricas sobre cada um dos sólidos abaixo.
Determine o gradiente de cada função abaixo: