O wronskiano de duas funções é . As funções são linearmente independentes ou linearmente dependentes? Por quê?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se duas funções são linearmente independentes ou dependentes usando o wronskiano, que é dado por . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa linearmente independentes e como o wronskiano nos ajuda nisso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o wronskiano. O wronskiano de duas funções e é dado por:
Ele nos ajuda a determinar se as funções são linearmente independentes. Se o wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo considerado, as funções são linearmente independentes. Caso contrário, são dependentes.
Passo 3
No nosso caso, o wronskiano é . Vamos analisar quando esse valor é zero:
→ , onde é um inteiro
Então, nos pontos onde é múltiplo de , incluindo .
Passo 4
Agora, é importante entender que, mesmo que o wronskiano seja zero em alguns pontos, se houver algum ponto no intervalo onde ele é diferente de zero, as funções são consideradas linearmente independentes nesse intervalo.
Passo 5
Observando , vemos que para diferente de múltiplos de , especialmente para , não é zero. Por exemplo, para :
Isso mostra que existe pelo menos um ponto onde o wronskiano não é zero.
Resposta
As funções são linearmente independentes porque o wronskiano é diferente de zero em pelo menos um ponto do intervalo considerado.