(j) sumn=1^+infty 1raiz1+n^2+n

Passo 1

Vamos analisar a soma infinita sumn=1^+infty 1raiz1+n^2+n. Esse exercício envolve o conteúdo de séries infinitas e técnicas para determinar a convergência ou divergência de uma série. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão e aplicar critérios de comparação para analisar o comportamento da soma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: 1raiz1+n^2+n. Para isso, vamos racionalizar o denominador. Isso significa multiplicar numerador e denominador pela expressão conjugada do denominador.

Passo 3

A expressão conjugada de raiz1+n^2+n é raiz1+n^2-n. Então, multiplicamos numerador e denominador por raiz1+n^2-n:
1raiz1+n^2+n times raiz1+n^2-nraiz1+n^2-n = raiz1+n^2-n(raiz1+n^2+n)(raiz1+n^2-n)

Passo 4

No denominador, aplicamos a diferença de quadrados:
(raiz1+n^2+n)(raiz1+n^2-n) = (raiz1+n^2)^2 - n^2 = 1 + n^2 - n^2 = 1
Portanto, o termo simplificado fica:
raiz1+n^2-n1 = raiz1+n^2 - n

Passo 5

Agora, observamos que o termo geral simplificado é raiz1+n^2 - n. Para entender o comportamento dessa expressão quando n tende ao infinito, vamos aproximar raiz1+n^2.
Sabemos que para grandes valores de n:
raiz1+n^2 = n raiz1+1n^2 approx n (1 + 12n^2) = n + 12n
Então:
raiz1+n^2 - n approx 12n

Passo 6

Portanto, para grandes valores de n, o termo geral da série se comporta como 12n. Sabemos que a série sumn=1^+infty 1n, conhecida como série harmônica, diverge.

Passo 7

Como o termo geral da nossa série é aproximadamente igual a 12n, e a série harmônica diverge, podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que a série original também diverge.

Resposta

A série sumn=1^+infty 1raiz1+n^2+n diverge.

Exercícios relacionados