(j)

Passo 1

Vamos analisar a soma infinita . Esse exercício envolve o conteúdo de séries infinitas e técnicas para determinar a convergência ou divergência de uma série. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão e aplicar critérios de comparação para analisar o comportamento da soma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: . Para isso, vamos racionalizar o denominador. Isso significa multiplicar numerador e denominador pela expressão conjugada do denominador.

Passo 3

A expressão conjugada de é . Então, multiplicamos numerador e denominador por :

Passo 4

No denominador, aplicamos a diferença de quadrados:
Portanto, o termo simplificado fica:

Passo 5

Agora, observamos que o termo geral simplificado é . Para entender o comportamento dessa expressão quando tende ao infinito, vamos aproximar .
Sabemos que para grandes valores de :
Então:

Passo 6

Portanto, para grandes valores de , o termo geral da série se comporta como . Sabemos que a série , conhecida como série harmônica, diverge.

Passo 7

Como o termo geral da nossa série é aproximadamente igual a , e a série harmônica diverge, podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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(b)

Determine o gráfico em das funções:
(i)