Vamos analisar a soma infinita . Esse exercício envolve o conteúdo de séries infinitas e técnicas para determinar a convergência ou divergência de uma série. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão e aplicar critérios de comparação para analisar o comportamento da soma.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: . Para isso, vamos racionalizar o denominador. Isso significa multiplicar numerador e denominador pela expressão conjugada do denominador.
Passo 3
A expressão conjugada de é . Então, multiplicamos numerador e denominador por :
Passo 4
No denominador, aplicamos a diferença de quadrados:
Portanto, o termo simplificado fica:
Passo 5
Agora, observamos que o termo geral simplificado é . Para entender o comportamento dessa expressão quando tende ao infinito, vamos aproximar .
Sabemos que para grandes valores de :
Então:
Passo 6
Portanto, para grandes valores de , o termo geral da série se comporta como . Sabemos que a série , conhecida como série harmônica, diverge.
Passo 7
Como o termo geral da nossa série é aproximadamente igual a , e a série harmônica diverge, podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que a série original também diverge.