(j)
Passo 1
Vamos analisar a soma infinita
. Esse exercício envolve o conteúdo de séries infinitas e técnicas para determinar a convergência ou divergência de uma série. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão e aplicar critérios de comparação para analisar o comportamento da soma.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
. Para isso, vamos racionalizar o denominador. Isso significa multiplicar numerador e denominador pela expressão conjugada do denominador.
Passo 3
A expressão conjugada de
é
. Então, multiplicamos numerador e denominador por
:
Passo 4
No denominador, aplicamos a diferença de quadrados:
Portanto, o termo simplificado fica:
Passo 5
Agora, observamos que o termo geral simplificado é
. Para entender o comportamento dessa expressão quando
tende ao infinito, vamos aproximar
.
Sabemos que para grandes valores de
:
Então:
Passo 6
Portanto, para grandes valores de
, o termo geral da série se comporta como
. Sabemos que a série
, conhecida como série harmônica, diverge.
Passo 7
Como o termo geral da nossa série é aproximadamente igual a
, e a série harmônica diverge, podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que a série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.