Encontre o posto e a nulidade A, sendo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar o posto e a nulidade da matriz . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente conceitos de posto (rank) e nulidade (nullity) de uma matriz. Para isso, vamos precisar reduzir a matriz a uma forma mais simples usando operações elementares e então contar as linhas não nulas para determinar o posto.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz :

Passo 3

Vamos começar a eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 1 na posição (1,1)). Para isso, fazemos:
  • Linha 2 = Linha 2 - 2 \times Linha 1:

Passo 4

Agora, eliminamos o elemento abaixo do primeiro pivô na terceira linha:
  • Linha 3 = Linha 3 - 3 \times Linha 1:

Passo 5

Vamos trabalhar com a segunda linha para eliminar o elemento abaixo do segundo pivô (que é 1 na posição (2,2)):
  • Linha 3 = Linha 3 + 8 \times Linha 2:

Passo 6

Agora, simplificamos a terceira linha dividindo todos os seus elementos por -28 para facilitar:

Passo 7

Com a matriz na forma escalonada, observamos que há 3 linhas não nulas. Isso significa que o posto da matriz é 3.

Passo 8

Para encontrar a nulidade, usamos a relação:
ú
Como a matriz tem 4 colunas e o posto é 3, temos:

Resposta

O posto da matriz é 3 e a nulidade é 1.

Exercícios relacionados

Resolva cada um dos seguintes sistemas:
(b)

Encontre , e caso exista), com
(a)
(j)
Determine o gráfico em das funções: