Encontre o polinômio de Taylor T3(x) de f(x) = cos(x) em torno de a = pi / 2 e depois calcule cos(80 graus) com precisão de cinco casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de grau 3 para a função em torno de . Depois, vamos usar esse polinômio para calcular com precisão de cinco casas decimais. Para isso, vamos precisar entender o que é o polinômio de Taylor e como calcular seus coeficientes usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. Ele é uma aproximação de uma função por um polinômio, que passa pelo ponto e utiliza as derivadas da função nesse ponto. A fórmula geral do polinômio de Taylor de grau para uma função em torno de é:
No nosso caso, queremos o polinômio de Taylor de grau 3, então vamos precisar calcular as derivadas até a terceira ordem de no ponto .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
  1. Primeira derivada:
  1. Segunda derivada:
  1. Terceira derivada:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
  1. Valor da função em :
  1. Primeira derivada em :
  1. Segunda derivada em :
  1. Terceira derivada em :

Passo 5

Agora que temos os valores das derivadas, vamos montar o polinômio de Taylor de grau 3:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos usar esse polinômio para estimar . Primeiro, precisamos converter 80 graus para radianos, já que a trigonometria em cálculo usa radianos. Sabemos que:
Então,
Nosso ponto de expansão é , então vamos calcular :

Passo 7

Agora, substituímos no polinômio :
Calculando cada parte:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
Somando os dois termos:

Passo 8

Vamos calcular os valores numéricos dessas expressões. Usando :
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
Então:

Passo 9

Finalmente, vamos arredondar o resultado para cinco casas decimais:

Resposta

O valor de aproximado pelo polinômio de Taylor de grau 3 em torno de é aproximadamente 0.17365.

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