Encontre o polinômio de Taylor
de
em torno de
e depois calcule
com precisão de cinco casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de grau 3 para a função
em torno de
. Depois, vamos usar esse polinômio para calcular
com precisão de cinco casas decimais. Para isso, vamos precisar entender o que é o polinômio de Taylor e como calcular seus coeficientes usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. Ele é uma aproximação de uma função por um polinômio, que passa pelo ponto
e utiliza as derivadas da função nesse ponto. A fórmula geral do polinômio de Taylor de grau
para uma função
em torno de
é:
No nosso caso, queremos o polinômio de Taylor de grau 3, então vamos precisar calcular as derivadas até a terceira ordem de
no ponto
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
- Valor da função em
:
- Primeira derivada em
:
- Segunda derivada em
:
- Terceira derivada em
:
Passo 5
Agora que temos os valores das derivadas, vamos montar o polinômio de Taylor de grau 3:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos usar esse polinômio para estimar
. Primeiro, precisamos converter 80 graus para radianos, já que a trigonometria em cálculo usa radianos. Sabemos que:
Então,
Nosso ponto de expansão é
, então vamos calcular
:
Passo 7
Agora, substituímos
no polinômio
:
Calculando cada parte:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Somando os dois termos:
Passo 8
Vamos calcular os valores numéricos dessas expressões. Usando
:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Então:
Passo 9
Finalmente, vamos arredondar o resultado para cinco casas decimais:
Resposta
O valor de
aproximado pelo polinômio de Taylor de grau 3 em torno de
é aproximadamente 0.17365.