Determine
tal que o ângulo entre
e
seja
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um vetor
que pertence ao espaço
de tal forma que o ângulo entre
e
seja de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre ângulos entre vetores e produto interno.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como calcular o ângulo entre dois vetores usando o produto interno. A fórmula é:
Aqui,
representa o produto interno entre
e
, e
e
são as normas desses vetores.
Passo 3
Sabemos que o ângulo
é
, cujo cosseno é
. Então, podemos substituir na fórmula:
Nosso objetivo é encontrar
, então precisamos expressar
de uma forma que possamos relacionar com
.
Passo 4
Vamos supor que
seja um espaço vetorial com produto interno definido, por exemplo, o espaço das funções contínuas no intervalo [a, b]. Assim, podemos expressar
como uma combinação linear envolvendo
.
Vamos assumir que
, onde
é um escalar a ser determinado.
Passo 5
Substituindo
na fórmula do cosseno, temos:
Como o produto interno é linear, podemos tirar o
de fora:
Passo 6
Simplificando, percebemos que
. Então:
Os termos
se cancelam, ficando:
Passo 7
Isso implica que
. Mas sabemos que
é o sinal de
, que só pode ser
ou
. Portanto, nossa suposição de que
é múltiplo de
não satisfaz a condição de
.
Passo 8
Vamos então considerar que
não é múltiplo de
, mas forma um ângulo de
com ele. Podemos usar a relação:
Ou seja:
Passo 9
Para encontrar
, precisamos de mais informações sobre o espaço
ou restrições adicionais. Sem essas informações, podemos expressar
em termos de uma base ortonormal e garantir que a condição do ângulo seja satisfeita.
Passo 10
Então, assumindo que
tenha uma base onde
é um dos vetores, podemos escolher
como:
Onde
é um vetor unitário em
perpendicular a
.
Resposta
O vetor
que satisfaz a condição é dado por:
Onde
é um vetor unitário em
perpendicular a
.
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