Determine tal que o ângulo entre e seja .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um vetor que pertence ao espaço de tal forma que o ângulo entre e seja de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre ângulos entre vetores e produto interno.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular o ângulo entre dois vetores usando o produto interno. A fórmula é:
Aqui, representa o produto interno entre e , e e são as normas desses vetores.

Passo 3

Sabemos que o ângulo é , cujo cosseno é . Então, podemos substituir na fórmula:
Nosso objetivo é encontrar , então precisamos expressar de uma forma que possamos relacionar com .

Passo 4

Vamos supor que seja um espaço vetorial com produto interno definido, por exemplo, o espaço das funções contínuas no intervalo [a, b]. Assim, podemos expressar como uma combinação linear envolvendo .
Vamos assumir que , onde é um escalar a ser determinado.

Passo 5

Substituindo na fórmula do cosseno, temos:
Como o produto interno é linear, podemos tirar o de fora:

Passo 6

Simplificando, percebemos que . Então:
Os termos se cancelam, ficando:

Passo 7

Isso implica que . Mas sabemos que é o sinal de , que só pode ser ou . Portanto, nossa suposição de que é múltiplo de não satisfaz a condição de .

Passo 8

Vamos então considerar que não é múltiplo de , mas forma um ângulo de com ele. Podemos usar a relação:
Ou seja:

Passo 9

Para encontrar , precisamos de mais informações sobre o espaço ou restrições adicionais. Sem essas informações, podemos expressar em termos de uma base ortonormal e garantir que a condição do ângulo seja satisfeita.

Passo 10

Então, assumindo que tenha uma base onde é um dos vetores, podemos escolher como:
Onde é um vetor unitário em perpendicular a .

Resposta

O vetor que satisfaz a condição é dado por:
Onde é um vetor unitário em perpendicular a .

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