Seja V=R^2 times 2 com o produto interno
f(A, B)=a11 b11+2 a12 b12+3 a21 b21+a22 b22
onde A=[ai j), B=[bi j) in V. Calcule o ângulo entre as matrizes
A=[rr 1 & -1 0 & 1 ] e B=[rr 2 & 1 -1 & 1 ]

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas matrizes f(A, B) = a11 b11 + 2 a12 b12 + 3 a21 b21 + a22 b22 e em e um produto interno definido por
O objetivo é calcular o ângulo entre essas duas matrizes usando esse produto interno. Para isso, vamos precisar entender como calcular o produto interno e as normas das matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o ângulo cos theta = f(A, B)| A | cdot | B |, entre dois “vetores” (neste caso, matrizes) em um espaço com produto interno é dado pela fórmula:
onde e são as normas das matrizes e , respectivamente. Vamos calcular cada parte dessa fórmula passo a passo.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o produto interno A = 1 & -1 0 & 1 , B = 2 & 1 -1 & 1 .
Dados:
f(A, B) = (1)(2) + 2(-1)(1) + 3(0)(-1) + (1)(1)
Aplicando a fórmula do produto interno:
f(A, B) = 2 - 2 + 0 + 1 = 1

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma de | A | = raizf(A, A) , que é dada por:
f(A, A) = (1)^2 + 2(-1)^2 + 3(0)^2 + (1)^2 = 1 + 2 + 0 + 1 = 4
Calculando | A | = raiz4 = 2 :

Passo 5

De forma similar, vamos calcular a norma de | B | = raizf(B, B) :
f(B, B) = (2)^2 + 2(1)^2 + 3(-1)^2 + (1)^2 = 4 + 2 + 3 + 1 = 10
Calculando | B | = raiz10 :

Passo 6

Agora que temos cos theta = 12 cdot raiz10 = 12raiz10 , e , podemos encontrar :

Passo 7

Finalmente, para encontrar o ângulo theta = arccos(12raiz10) , tiramos o arco cosseno:

Resposta

O ângulo entre as matrizes e é , o que aproximadamente dá .

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