Sejam V=P1(R) com o produto interno
lang<= f, grang<==integral0^1 f(x) g(x) d x
onde f=a0+a1 x, g=b0+b1 x in V. Calcule o ângulo entre os polinômios
f=1+x e g=1-x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço de polinômios V = P1(R), que significa que estamos lidando com polinômios de grau no máximo 1. O produto interno nesse espaço é definido pela integral:
lang<= f, g rang<= = integral0^1 f(x) g(x) , dx
Nosso objetivo aqui é calcular o ângulo entre os polinômios f(x) = 1 + x e g(x) = 1 - x. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores em um espaço com produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto interno entre f e g. Isso significa que vamos integrar o produto desses dois polinômios de 0 a 1:
lang<= f, g rang<= = integral0^1 (1 + x)(1 - x) , dx
Vamos expandir o produto dentro da integral:
(1 + x)(1 - x) = 1 cdot 1 + 1 cdot (-x) + x cdot 1 + x cdot (-x) = 1 - x + x - x^2 = 1 - x^2
Então, a integral fica:
lang<= f, g rang<= = integral0^1 (1 - x^2) , dx

Passo 3

Agora, vamos calcular essa integral:
integral0^1 (1 - x^2) , dx = integral0^1 1 , dx - integral0^1 x^2 , dx
Calculando cada parte:
integral0^1 1 , dx = [ x ]0^1 = 1 - 0 = 1
integral0^1 x^2 , dx = [ x^33 ]0^1 = 1^33 - 0^33 = 13 - 0 = 13
Substituindo de volta:
lang<= f, g rang<= = 1 - 13 = 23

Passo 4

Agora, precisamos calcular as normas (ou comprimentos) dos polinômios f e g. A norma de um vetor em um espaço com produto interno é dada por:
|f| = raizlang<= f, f rang<=
Vamos começar com |f|:
|f| = raizlang<= f, f rang<= = raizintegral0^1 (1 + x)^2 , dx
Expandindo (1 + x)^2:
(1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2
Então,
|f| = raizintegral0^1 (1 + 2x + x^2) , dx = raiz[ x + x^2 + x^33 ]0^1 = raiz1 + 1 + 13 = raiz73 = raiz7raiz3
Simplificando,
|f| = raiz213
Agora, para |g|:
|g| = raizlang<= g, g rang<= = raizintegral0^1 (1 - x)^2 , dx
Expandindo (1 - x)^2:
(1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2
Então,
|g| = raizintegral0^1 (1 - 2x + x^2) , dx = raiz[ x - x^2 + x^33 ]0^1 = raiz1 - 1 + 13 = raiz13 = 1raiz3

Passo 5

Com o produto interno lang<= f, g rang<= = 23 e as normas |f| = raiz213 e |g| = 1raiz3, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo theta entre f e g:
cos(theta) = lang<= f, g rang<=|f| cdot |g|
Substituindo os valores:
cos(theta) = 23( raiz213 ) cdot ( 1raiz3 ) = 23raiz213 cdot 1raiz3 = 23raiz213raiz3 = 23 cdot 3raiz3raiz21 = 2raiz3raiz21
Simplificando raiz3raiz21:
raiz3raiz21 = raiz3raiz3 cdot 7 = raiz3raiz3 cdot raiz7 = 1raiz7
Portanto,
cos(theta) = 2raiz7

Passo 6

Agora, para encontrar o ângulo theta, vamos usar a função arco cosseno:
theta = arccos( 2raiz7 )
Calculando esse valor:
theta approx arccos( 22.6458 ) approx arccos(0.7559) approx 40.5^circ

Resposta

O ângulo entre os polinômios f = 1 + x e g = 1 - x é aproximadamente 40,5^circ.

Exercícios relacionados