Sejam
com o produto interno
onde
. Calcule o ângulo entre os polinômios
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço de polinômios
, que significa que estamos lidando com polinômios de grau no máximo 1. O produto interno nesse espaço é definido pela integral:
Nosso objetivo aqui é calcular o ângulo entre os polinômios
e
. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores em um espaço com produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto interno entre
e
. Isso significa que vamos integrar o produto desses dois polinômios de 0 a 1:
Vamos expandir o produto dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular essa integral:
Calculando cada parte:
Substituindo de volta:
Passo 4
Agora, precisamos calcular as normas (ou comprimentos) dos polinômios
e
. A norma de um vetor em um espaço com produto interno é dada por:
Vamos começar com
:
Expandindo
:
Então,
Simplificando,
Agora, para
:
Expandindo
:
Então,
Passo 5
Com o produto interno
e as normas
e
, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo
entre
e
:
Substituindo os valores:
Simplificando
:
Portanto,
Passo 6
Agora, para encontrar o ângulo
, vamos usar a função arco cosseno:
Calculando esse valor:
Resposta
O ângulo entre os polinômios
e
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Determine
tal que o ângulo entre
e
seja
.
Seja
o espaço vetorial de todas as funções reais contínuas munido com o produto interno
Calcule o ângulo entre
Seja
com o produto interno
onde
. Calcule o ângulo entre as matrizes
Sejam
um espaço euclidiano e
, a distância entre
e
é definida por
Mostre que: