Sejam com o produto interno
onde . Calcule o ângulo entre os polinômios

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço de polinômios , que significa que estamos lidando com polinômios de grau no máximo 1. O produto interno nesse espaço é definido pela integral:
Nosso objetivo aqui é calcular o ângulo entre os polinômios e . Para isso, vamos precisar usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores em um espaço com produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto interno entre e . Isso significa que vamos integrar o produto desses dois polinômios de 0 a 1:
Vamos expandir o produto dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular essa integral:
Calculando cada parte:
Substituindo de volta:

Passo 4

Agora, precisamos calcular as normas (ou comprimentos) dos polinômios e . A norma de um vetor em um espaço com produto interno é dada por:
Vamos começar com :
Expandindo :
Então,
Simplificando,
Agora, para :
Expandindo :
Então,

Passo 5

Com o produto interno e as normas e , podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre e :
Substituindo os valores:
Simplificando :
Portanto,

Passo 6

Agora, para encontrar o ângulo , vamos usar a função arco cosseno:
Calculando esse valor:

Resposta

O ângulo entre os polinômios e é aproximadamente .

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