Determine:
h) lim x 0 raiz[3 x]1+x

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado a limites envolvendo funções exponenciais e logaritmos. Para resolver, vamos precisar entender como reescrever a raiz em termos de potências e aplicar propriedades dos limites exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a raiz raiz[3x]1+x = (1+x)^1/(3x) como uma potência. Sabemos que , então temos:

Passo 3

Agora, o limite fica:
limx 0 (1+x)^1/(3x)
Esse tipo de limite se assemelha à forma , onde é a base dos logaritmos naturais.

Passo 4

Para adaptar nosso limite à forma conhecida, podemos fatorar o denominador:
(1+x)^1/(3x) = [(1+x)^1/x]^1/3
Dessa forma, podemos separar o limite usando propriedades de potências.

Passo 5

Sabemos que limx 0 [(1+x)^1/x]^1/3 = e^1/3 . Então, substituindo na expressão:

Resposta

e^1/3

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