Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar m valor funcional mínimo relativo de f, se f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 com dois vínculos, x + 2y + 3z = 6 e x - y - z = -1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor mínimo da função com duas restrições:
Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica para otimizar funções com restrições. Vamos precisar definir multiplicadores para cada restrição e montar o sistema de equações que vai nos ajudar a encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos definir os multiplicadores de Lagrange. Vamos chamar o multiplicador da primeira restrição de e o da segunda de . A ideia é combinar a função que queremos minimizar com as restrições multiplicadas por esses multiplicadores.
Então, montamos a função de Lagrange:

Passo 3

Agora, a gente precisa achar as derivadas parciais dessa função em relação a , , , e e igualá-las a zero. Isso vai nos dar um sistema de equações para resolver.
Vamos calcular cada derivada:
  1. Em relação a :
  1. Em relação a :
  1. Em relação a :
  1. Em relação a (a restrição 1):
  1. Em relação a (a restrição 2):

Passo 4

Agora, temos um sistema de cinco equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 5

Primeiro, da equação 1, podemos isolar :
Da equação 2:
Da equação 3:

Passo 6

Agora, vamos resolver as equações (2) e (3) em termos de e :
Subtraindo a equação (2) da equação (3):
Então, temos:

Passo 7

Substituindo da equação (4) na equação (1):

Passo 8

Agora, vamos usar as restrições 4 e 5 para encontrar , e .
Temos:
Vamos resolver essas equações. Da equação (4.2), podemos isolar :

Passo 9

Substituindo da equação (6) na equação (4.1):

Passo 10

Agora, vamos resolver a equação (7) para uma das variáveis, por exemplo, :

Passo 11

Agora, substituímos da equação (8) na equação (6) para encontrar :

Passo 12

Agora, temos e em função de . Vamos substituir esses valores na equação da equação (4):

Passo 13

Agora, vamos substituir da equação (9), da equação (8) e da equação (10) na equação (5) para encontrar :

Passo 14

Agora, temos e em função de . Para encontrar o valor de , precisamos voltar às restrições ou às equações das derivadas. Vamos usar uma das equações das derivadas, por exemplo, a equação (1):
Substituindo , e :
Isso confirma que nosso sistema está consistente, mas precisamos de outro método para encontrar . Vamos voltar às restrições para resolver.

Passo 15

Vamos usar a equação (7):
E da equação (8):
Substituindo na equação (7):
Isso indica que qualquer valor de satisfaz essa equação, então precisamos buscar outra abordagem para encontrar .

Passo 16

Vamos usar a outra restrição:
Substituindo e :
Ainda não conseguimos isolar . Isso significa que o mínimo ocorre em qualquer ponto que satisfaça as restrições, e a função vai ter o mesmo valor mínimo para todos esses pontos.

Passo 17

Vamos então expressar usando as expressões que encontramos para e em função de :
Vamos simplificar:

Passo 18

Para encontrar o mínimo de , derivamos em relação a e igualamos a zero:

Passo 19

Agora que temos , vamos encontrar e usando as equações (9) e (8):
Para :
Para :

Passo 20

Finalmente, substituímos , e na função para encontrar o valor mínimo:

Resposta

O valor mínimo relativo de sujeito às restrições dadas é .

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