Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar m valor funcional mínimo relativo de
, se
com dois vínculos,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor mínimo da função
com duas restrições:
Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica para otimizar funções com restrições. Vamos precisar definir multiplicadores para cada restrição e montar o sistema de equações que vai nos ajudar a encontrar os valores de
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos definir os multiplicadores de Lagrange. Vamos chamar o multiplicador da primeira restrição de
e o da segunda de
. A ideia é combinar a função que queremos minimizar com as restrições multiplicadas por esses multiplicadores.
Então, montamos a função de Lagrange:
Passo 3
Agora, a gente precisa achar as derivadas parciais dessa função em relação a
,
,
,
e
e igualá-las a zero. Isso vai nos dar um sistema de equações para resolver.
Vamos calcular cada derivada:
- Em relação a
:
- Em relação a
:
- Em relação a
:
- Em relação a
(a restrição 1):
- Em relação a
(a restrição 2):
Passo 4
Agora, temos um sistema de cinco equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 5
Primeiro, da equação 1, podemos isolar
:
Da equação 2:
Da equação 3:
Passo 6
Agora, vamos resolver as equações (2) e (3) em termos de
e
:
Subtraindo a equação (2) da equação (3):
Subtraindo a equação (2) da equação (3):
Então, temos:
Passo 7
Substituindo
da equação (4) na equação (1):
Passo 8
Agora, vamos usar as restrições 4 e 5 para encontrar
,
e
.
Temos:
Vamos resolver essas equações. Da equação (4.2), podemos isolar
:
Passo 9
Substituindo
da equação (6) na equação (4.1):
Passo 10
Agora, vamos resolver a equação (7) para uma das variáveis, por exemplo,
:
Passo 11
Agora, substituímos
da equação (8) na equação (6) para encontrar
:
Passo 12
Agora, temos
e
em função de
. Vamos substituir esses valores na equação
da equação (4):
Passo 13
Agora, vamos substituir
da equação (9),
da equação (8) e
da equação (10) na equação (5) para encontrar
:
Passo 14
Agora, temos
e
em função de
. Para encontrar o valor de
, precisamos voltar às restrições ou às equações das derivadas. Vamos usar uma das equações das derivadas, por exemplo, a equação (1):
Substituindo
,
e
:
Isso confirma que nosso sistema está consistente, mas precisamos de outro método para encontrar
. Vamos voltar às restrições para resolver.
Passo 15
Vamos usar a equação (7):
E da equação (8):
Substituindo
na equação (7):
Isso indica que qualquer valor de
satisfaz essa equação, então precisamos buscar outra abordagem para encontrar
.
Passo 16
Vamos usar a outra restrição:
Substituindo
e
:
Ainda não conseguimos isolar
. Isso significa que o mínimo ocorre em qualquer ponto que satisfaça as restrições, e a função
vai ter o mesmo valor mínimo para todos esses pontos.
Passo 17
Vamos então expressar
usando as expressões que encontramos para
e
em função de
:
Vamos simplificar:
Passo 18
Para encontrar o mínimo de
, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Passo 19
Agora que temos
, vamos encontrar
e
usando as equações (9) e (8):
Para
:
Para
:
Passo 20
Finalmente, substituímos
,
e
na função
para encontrar o valor mínimo:
Resposta
O valor mínimo relativo de
sujeito às restrições dadas é
.