Determine: i cdot i, j cdot j, k cdot k, i cdot j, j cdot k e i cdot k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o produto escalar entre os vetores unitários i, j e k. Isso faz parte da matéria de Álgebra Vetorial. Para resolver, vamos precisar entender como funciona o produto escalar entre vetores e as propriedades desses vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores é uma operação que resulta em um número. Ele é calculado multiplicando as componentes correspondentes dos vetores e somando esses produtos. Matematicamente, se temos dois vetores a = axi + ayj + azk e b = bxi + byj + bzk, o produto escalar é dado por:
a cdot b = ax bx + ay by + az bz

Passo 3

Agora, vamos lembrar que os vetores i, j e k são vetores unitários nos eixos x, y e z, respectivamente. Isso significa que:
i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)
Além disso, esses vetores são ortogonais entre si, ou seja, o ângulo entre qualquer par deles é de 90 graus.

Passo 4

Para calcular o produto escalar de um vetor com ele mesmo, como i cdot i, usamos a fórmula:
i cdot i = 1 cdot 1 + 0 cdot 0 + 0 cdot 0 = 1
O mesmo vale para j cdot j e k cdot k:
j cdot j = 0 cdot 0 + 1 cdot 1 + 0 cdot 0 = 1
k cdot k = 0 cdot 0 + 0 cdot 0 + 1 cdot 1 = 1

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar entre vetores diferentes, como i cdot j. Usando a mesma fórmula:
i cdot j = 1 cdot 0 + 0 cdot 1 + 0 cdot 0 = 0
O mesmo acontece para j cdot k e i cdot k:
j cdot k = 0 cdot 0 + 1 cdot 0 + 0 cdot 1 = 0
i cdot k = 1 cdot 0 + 0 cdot 0 + 0 cdot 1 = 0

Resposta

  • i cdot i = 1
  • j cdot j = 1
  • k cdot k = 1
  • i cdot j = 0
  • j cdot k = 0
  • i cdot k = 0

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