Seja
uma matriz de ordem
. Mostrar que
onde
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede. Nós temos uma matriz
de ordem
e queremos mostrar que a equação
é equivalente a
, onde
é o traço de
(a soma dos elementos da diagonal principal) e
é o determinante de
. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o determinante de uma matriz e entender o que são o traço e o determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é a matriz identidade de ordem
, ou seja:
Subtraindo
de
, teremos:
[
A - xI =
]
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante de
. Para uma matriz
, o determinante é dado por:
Aplicando isso à nossa matriz:
Passo 4
Vamos expandir a expressão:
Substituindo na expressão do determinante:
Passo 5
Agora, vamos organizar os termos:
Passo 6
Vamos identificar
e
:
-
, que é o traço de . -
, que é o determinante de .
Portanto, a expressão fica:
Resposta
Mostramos que
, onde
é o traço de
e
é o determinante de
.