Seja A uma matriz de ordem 2 times 2. Mostrar que det(A-x I)=0 Long<=ftrightarrow x^2-sigma1 x+sigma2=0 ; onde lsigma1=traço(A) sigma2=det(A)̧.

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Nós temos uma matriz A de ordem 2 times 2 e queremos mostrar que a equação det(A - xI) = 0 é equivalente a x^2 - sigma1 x + sigma2 = 0, onde sigma1 é o traço de A (a soma dos elementos da diagonal principal) e sigma2 é o determinante de A. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o determinante de uma matriz e entender o que são o traço e o determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que I é a matriz identidade de ordem 2 times 2, ou seja:
I = 1 & 0 0 & 1
Subtraindo xI de A, teremos:

[
A - xI = A - xI = a11 & a12 a21 & a22 - x & 0 0 & x = a11 - x & a12 a21 & a22 - x


]

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante de A - xI. Para uma matriz 2 times 2, o determinante é dado por:
det( m & n p & q ) = mq - np
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A - xI) = (a11 - x)(a22 - x) - a12a21

Passo 4

Vamos expandir a expressão:
(a11 - x)(a22 - x) = a11a22 - a11x - a22x + x^2
Substituindo na expressão do determinante:
det(A - xI) = a11a22 - a11x - a22x + x^2 - a12a21

Passo 5

Agora, vamos organizar os termos:
det(A - xI) = x^2 - (a11 + a22)x + (a11a22 - a12a21)

Passo 6

Vamos identificar sigma1 e sigma2:
  • sigma1 = a11 + a22, que é o traço de A.
  • sigma2 = a11a22 - a12a21, que é o determinante de A.
Portanto, a expressão fica:
det(A - xI) = x^2 - sigma1x + sigma2

Resposta

Mostramos que det(A - xI) = x^2 - sigma1x + sigma2, onde sigma1 é o traço de A e sigma2 é o determinante de A.

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