Determine e identifique uma equação do lugar geométrico dos pontos do plano cujas abscissas e ordenadas são respectivamente iguais às abscissas e às metades das ordenadas dos pontos da circunferência de equação
.
(elipse)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma circunferência com a equação
. Queremos encontrar a equação do lugar geométrico dos pontos onde a abscissa (o valor de
) é igual à abscissa dos pontos da circunferência e a ordenada (o valor de
) é igual à metade da ordenada dos pontos da circunferência. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformação de coordenadas e substituir as variáveis adequadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as coordenadas dos pontos na circunferência. Se considerarmos um ponto qualquer na circunferência como
, então, de acordo com o enunciado:
- A abscissa do novo ponto será igual à abscissa da circunferência:
. - A ordenada do novo ponto será a metade da ordenada da circunferência:
.
Passo 3
Agora, queremos relacionar essas novas coordenadas
com a equação original da circunferência. Sabemos que:
Substituindo
e
na equação da circunferência
:
Simplificando a expressão:
Resposta
A equação do lugar geométrico dos pontos é
, que representa uma elipse.