Determine e identifique uma equação do lugar geométrico dos pontos do plano cujas abscissas e ordenadas são respectivamente iguais às abscissas e às metades das ordenadas dos pontos da circunferência de equação x^2+y^2=25.
x^2+4 y^2=25 (elipse)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma circunferência com a equação . Queremos encontrar a equação do lugar geométrico dos pontos onde a abscissa (o valor de ) é igual à abscissa dos pontos da circunferência e a ordenada (o valor de ) é igual à metade da ordenada dos pontos da circunferência. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformação de coordenadas e substituir as variáveis adequadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as coordenadas dos pontos na circunferência. Se considerarmos um ponto qualquer na circunferência como , então, de acordo com o enunciado:
  • A abscissa do novo ponto será igual à abscissa da circunferência: .
  • A ordenada do novo ponto será a metade da ordenada da circunferência: .

Passo 3

Agora, queremos relacionar essas novas coordenadas a = x com a equação original da circunferência. Sabemos que:
b = 2y
x^2 + (2y)^2 = 25
Substituindo x^2 + 4y^2 = 25 e na equação da circunferência :
Simplificando a expressão:

Resposta

A equação do lugar geométrico dos pontos é , que representa uma elipse.

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