Determine e identifique uma equação do lugar geométrico dos pontos do plano cujas abscissas e ordenadas são respectivamente iguais às abscissas e às metades das ordenadas dos pontos da circunferência de equação
.
(elipse)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma circunferência com a equação
. Queremos encontrar a equação do lugar geométrico dos pontos onde a abscissa (o valor de
) é igual à abscissa dos pontos da circunferência e a ordenada (o valor de
) é igual à metade da ordenada dos pontos da circunferência. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformação de coordenadas e substituir as variáveis adequadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as coordenadas dos pontos na circunferência. Se considerarmos um ponto qualquer na circunferência como
, então, de acordo com o enunciado:
- A abscissa do novo ponto será igual à abscissa da circunferência:
. - A ordenada do novo ponto será a metade da ordenada da circunferência:
.
Passo 3
Agora, queremos relacionar essas novas coordenadas
com a equação original da circunferência. Sabemos que:
Substituindo
e
na equação da circunferência
:
Simplificando a expressão:
Resposta
A equação do lugar geométrico dos pontos é
, que representa uma elipse.
Exercícios relacionados
Sejam
em que
é a rotação de
em torno da origem,
é a reflexão em torno da reta
e
é a projeção ortogonal sobre a mesma reta.
a) Mostre que .
b) Mostre que .
c) Mostre que não comuta com
nem com
.
d) Determine todos os vetores tais que
e
.
a) Mostre que
b) Mostre que
c) Mostre que
d) Determine todos os vetores
No espaço vetorial
dos polinômios de graus <2, o polinômio
é uma combinação linear dos polinômios:
e
, determine os coeficientes da combinação linear.
Encontre o núcleo das seguintes transformações linear:
b)
b)
Seja
dada por
. Determine a matriz de
em relação às bases canônicas de
e
.