Encontre o núcleo das seguintes transformações linear:
b) T: R^3 R^2 ; T(x, y, z)=(x-y+4 z, 3 x+ y+8 z)

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o núcleo de uma transformação linear , onde . O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que, quando aplicados na transformação, resultam no vetor zero. Para resolver isso, precisamos encontrar todas as soluções do sistema de equações que iguala a .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações que representam x - y + 4z = 0 3x + y + 8z = 0 :
Aqui, temos duas equações com três variáveis, o que significa que provavelmente haverá infinitas soluções.

Passo 3

Vamos resolver o sistema. Podemos começar somando as duas equações para eliminar (x - y + 4z) + (3x + y + 8z) = 0 + 0 4x + 12z = 0 :
4x + 12z = 0 x + 3z = 0 x = -3z
Simplificando, temos:
Agora, conseguimos expressar em termos de .

Passo 4

Substituímos -3z - y + 4z = 0 (-3z + 4z) - y = 0 z - y = 0 y = z de volta na primeira equação para encontrar :
Agora, temos e em termos de .

Passo 5

Vamos expressar as soluções em termos de x = -3z y = z z = z :
(x, y, z) = z(-3, 1, 1)
Podemos representar isso como:
Isso significa que todo vetor no núcleo é um múltiplo de .

Resposta

O núcleo da transformação Núc<=o(T) = , (-3z,, z,, z) mid z in R , é o conjunto de todos os vetores da forma , onde é um número real. Em outras palavras,
ú

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