Encontre o núcleo das seguintes transformações linear:
b)
b)
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o núcleo de uma transformação linear
, onde
. O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que, quando aplicados na transformação, resultam no vetor zero. Para resolver isso, precisamos encontrar todas as soluções do sistema de equações que iguala
a
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações que representam
:
Aqui, temos duas equações com três variáveis, o que significa que provavelmente haverá infinitas soluções.
Passo 3
Vamos resolver o sistema. Podemos começar somando as duas equações para eliminar
:
Simplificando, temos:
Agora, conseguimos expressar
em termos de
.
Passo 4
Substituímos
de volta na primeira equação para encontrar
:
Agora, temos
e
em termos de
.
Passo 5
Vamos expressar as soluções em termos de
:
Podemos representar isso como:
Isso significa que todo vetor no núcleo é um múltiplo de
.
Resposta
O núcleo da transformação
é o conjunto de todos os vetores da forma
, onde
é um número real. Em outras palavras,