Encontre o núcleo das seguintes transformações linear:
b)
b)
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o núcleo de uma transformação linear
, onde
. O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que, quando aplicados na transformação, resultam no vetor zero. Para resolver isso, precisamos encontrar todas as soluções do sistema de equações que iguala
a
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações que representam
:
Aqui, temos duas equações com três variáveis, o que significa que provavelmente haverá infinitas soluções.
Passo 3
Vamos resolver o sistema. Podemos começar somando as duas equações para eliminar
:
Simplificando, temos:
Agora, conseguimos expressar
em termos de
.
Passo 4
Substituímos
de volta na primeira equação para encontrar
:
Agora, temos
e
em termos de
.
Passo 5
Vamos expressar as soluções em termos de
:
Podemos representar isso como:
Isso significa que todo vetor no núcleo é um múltiplo de
.
Resposta
O núcleo da transformação
é o conjunto de todos os vetores da forma
, onde
é um número real. Em outras palavras,
Exercícios relacionados
Determine e identifique uma equação do lugar geométrico dos pontos do plano cujas abscissas e ordenadas são respectivamente iguais às abscissas e às metades das ordenadas dos pontos da circunferência de equação
.
(elipse)
Sejam
em que
é a rotação de
em torno da origem,
é a reflexão em torno da reta
e
é a projeção ortogonal sobre a mesma reta.
a) Mostre que .
b) Mostre que .
c) Mostre que não comuta com
nem com
.
d) Determine todos os vetores tais que
e
.
a) Mostre que
b) Mostre que
c) Mostre que
d) Determine todos os vetores
Seja
dada por
. Determine a matriz de
em relação às bases canônicas de
e
.
Verifique quais destes subconjuntos são subespaços. Quando
não for subespaço, indique indique a propriedade que não é satisfeita.
Relembrando: Dizemos que é um subespaço vetorial de
se:
(S1) .
(S2) Se , então
.
(S3) Se , então
, para todo
.
Relembrando: Dizemos que
(S1)
(S2) Se
(S3) Se