Encontre o núcleo das seguintes transformações linear:
b)

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o núcleo de uma transformação linear , onde . O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que, quando aplicados na transformação, resultam no vetor zero. Para resolver isso, precisamos encontrar todas as soluções do sistema de equações que iguala a .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações que representam :
Aqui, temos duas equações com três variáveis, o que significa que provavelmente haverá infinitas soluções.

Passo 3

Vamos resolver o sistema. Podemos começar somando as duas equações para eliminar :
Simplificando, temos:
Agora, conseguimos expressar em termos de .

Passo 4

Substituímos de volta na primeira equação para encontrar :
Agora, temos e em termos de .

Passo 5

Vamos expressar as soluções em termos de :
Podemos representar isso como:
Isso significa que todo vetor no núcleo é um múltiplo de .

Resposta

O núcleo da transformação é o conjunto de todos os vetores da forma , onde é um número real. Em outras palavras,
ú

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Determine e identifique uma equação do lugar geométrico dos pontos do plano cujas abscissas e ordenadas são respectivamente iguais às abscissas e às metades das ordenadas dos pontos da circunferência de equação .
(elipse)
Sejam em que é a rotação de em torno da origem, é a reflexão em torno da reta e é a projeção ortogonal sobre a mesma reta.
a) Mostre que .
b) Mostre que .
c) Mostre que não comuta com nem com .
d) Determine todos os vetores tais que e .
Seja dada por . Determine a matriz de em relação às bases canônicas de e .
Verifique quais destes subconjuntos são subespaços. Quando não for subespaço, indique indique a propriedade que não é satisfeita.
Relembrando: Dizemos que é um subespaço vetorial de se:
(S1) .
(S2) Se , então .
(S3) Se , então , para todo .