No espaço vetorial
dos polinômios de graus <2, o polinômio
é uma combinação linear dos polinômios:
e
, determine os coeficientes da combinação linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear, especificamente trabalhando com espaços vetoriais de polinômios. A missão é encontrar os coeficientes que multiplicam dois polinômios dados para combinar e obter outro polinômio especificado. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações alinhando os coeficientes dos termos semelhantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o polinômio que queremos obter como uma combinação linear dos polinômios fornecidos. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos distribuir os coeficientes
e
dentro dos parênteses:
Passo 4
Em seguida, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de
dos dois lados da igualdade:
- Para
:
- Para
:
- Para o termo constante:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, pegamos a primeira equação e isolamos
:
Passo 7
Agora, substituímos
na segunda equação:
Multiplicamos todos os termos por 5 para eliminar o denominador:
Passo 8
Com
, substituímos de volta na expressão para
:
Resposta
Os coeficientes da combinação linear são
e
.