No espaço vetorial P2 dos polinômios de graus <2, o polinômio v=7 x^2+11 x-26 é uma combinação linear dos polinômios: v1=5 x^2- 3 x+2 e v2=-2 x^2+5 x-8, determine os coeficientes da combinação linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear, especificamente trabalhando com espaços vetoriais de polinômios. A missão é encontrar os coeficientes que multiplicam dois polinômios dados para combinar e obter outro polinômio especificado. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações alinhando os coeficientes dos termos semelhantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o polinômio que queremos obter como uma combinação linear dos polinômios fornecidos. Ou seja:
7x^2 + 11x - 26 = a(5x^2 - 3x + 2) + b(-2x^2 + 5x - 8)

Passo 3

Agora, vamos distribuir os coeficientes 7x^2 + 11x - 26 = (5a)x^2 + (-3a)x + 2a + (-2b)x^2 + 5b x - 8b e dentro dos parênteses:

Passo 4

Em seguida, vamos agrupar os termos semelhantes:
7x^2 + 11x - 26 = (5a - 2b)x^2 + (-3a + 5b)x + (2a - 8b)

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de 5a - 2b = 7 dos dois lados da igualdade:
  1. Para -3a + 5b = 11 :
2a - 8b = -26
  1. Para :
  1. Para o termo constante:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, pegamos a primeira equação e isolamos 5a - 2b = 7 :
5a = 7 + 2b
a = 7 + 2b5

Passo 7

Agora, substituímos -3(7 + 2b5) + 5b = 11 na segunda equação:
-21 - 6b5 + 5b = 11
-21 - 6b + 25b = 55
Multiplicamos todos os termos por 5 para eliminar o denominador:
19b = 76
b = 4

Passo 8

Com a = 7 + 2(4)5 , substituímos de volta na expressão para a = 7 + 85 :
a = 155
a = 3

Resposta

Os coeficientes da combinação linear são e .

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